数值分析李庆杨版习题及答案(5)

由以上两式得

j 1

n

1 f (xj)a0

xkj

j 1

n

gk(xj)

(x

i 1

i j

n

j

xi)

1

gk[x1,x2, ,xn]a0

( ) 0,0 k n 2,1gk

1

a0(n 1)! a0,k n 1. nF(xj)

F[x0,x1, ,xn]

j 0(xj x0) (xj xj 1)(xj xj 1) (xj xn) 15. i)

nc f(xj) c f[x0,x1, ,xn]

(x x) (x x)(x x) (x x)j 0j0jj 1jj 1jn.

(n 1)

ii) 证明同上。

f(7)( )7!

f[2,2, ,2] 1;

7!7!16.

1

7

f(8)( )

f[2,2, ,2] 0.

7!

RR(x) f(x) p(x) 0,jj17. 3j 3(xj) f(xj) p(xj) 0,j k,k 1.

即xk,xk 1均为R3(x)的二重零点。因而有形式：

1

8

R3(x) K(x)(x xk)2(x xk 1)2.

22

(t) f(t) p(t) K(x)(t x)(t x). kk 1作辅助函数

则 (xk) 0, (x) 0, (xk 1) 0, (xk) 0, (xk 1) 0.

由罗尔定理，存在 1 (xk,x), 2 (x,xk 1),使得

( 1) 0, ( 2) 0.

类似再用三次罗尔定理，存在 ( 1, 2) (xk,xk 1),使得

(4)( ) 0, 又 (4)(t) f(4)(t) 4!K(x),

(4)

K(x) f( )!, 可得

(4)22

R(x) f( )(x x)(x x)!., (xk,xk 1). 3kk 1即

18. 采用牛顿插值，作均差表：

p(x) p(x0) (x x0)f[x0,x1] (x x0)(x x1)f[x0,x1,x2]

(A Bx)(x x0)(x x1)(x x2)

0 x x(x 1)( 1/2) (A Bx)x(x 1)(x 2)