新课标高中数学全部精讲精练_高考二轮专题复习全稿

若0£ －£，即－1£a£0，则应有 f (-=-+1=1-³ 0 恒成立，故－1£a£0. 2 2 2424 5 5 综上，有－£a，故a的最小值为 -. 2 2

1 1 1 点评：此例也可用分离参数法，转化为 a≥-( x +  对一切 xÎ (0恒成立，结合函数 f(x)=-( x ), x 2 x

1 5 5 xÎ (0]的单调性得到 f(x ) £-. 从而a的最小值为 -. 2 2 2

【例3】 解关于x的不等式 ax2 -2(a+1)x +4> 0 . 

解：当a=0时,原不等式即 -2x +4> 0 ，解集为{x|x< 2} . 当a≠0时,原不等式变形为(ax-2)(x -2)> 0 . 

2 2 ① a<0时, < 2 , 解集为 {x|<x < 2} . a a

2 2 2 ② a>0时，令= 2 , 则a＝1． 当a＝1时，= 2 , 原不等式解集为{x|x≠2}； 当a＞1时， 2 > ， a a a

2 2 2 原不等式解集为{x|x>2或x}；当0＜a＜1时，＞2，原不等式解集为{x| x或x<2}. a a a 

点评：分类讨论时，有时需要分层逐级进行讨论. 这里首先考虑是否为一元二次不等式进行第一层讨论， 其次一元二次方程由于a的正负进行第二层讨论，最后两根大小不定进行第三层讨论

【例4】 （06年全国卷Ⅰ.文22）设a为实数，函数 f(x)=x3-ax2+(a2 - 1) x 在(-¥ ,0) 和(1,+¥ ) 都是增函 数，求a的取值范围. 

2 2 解： f'(x)=3x2-2ax+(a - 1) ，其判别式 D=4a2-12a2

+12=12- 8a  . 

2 (i)若 D=12-8a = 0 ，即 a =a a . 当 xÎ(-¥ ,或 xÎ(

,+¥ ) 时, f'(x )> 0 ， f(x ) 在(-¥,+¥ ) 为增 3 3 

函数. 所以 a =. 3 

2 (ii)若 D=12-8a < 0 ， 恒有 

f'(x

)> 0 ， f(x ) 在(-¥,+¥ ) 为增函数, 所以 a 2 > ， 即 aÎ(-¥,U+¥ ) 

. 2 (iii)若 D=12-

8a > 0 ，即

 <a ，令 f'(x )= 0 ，解得 x1=x2  =. 当 xÎ(-¥ ,x1  ) 或 xÎ(x ) 时, f'(x )> 0 , f(x ) 为增函数  当 xÎ (x1,x )<

0 时，f (x ) 为减函 2 ,+¥ 2 ) 时 , f'(x 2 

数. 依题意 x1 

³ 0 且 x ³ 0 得

 a³，解得 1 £

a <2 £ 1 . 由 x1 

. 由 x 2 £ 1 

£3 - a ， 解得

<a

，从而 aΠ. 综上,a的取值范围为

 (-¥,U+¥ )U ，即 aÎ(-¥,U [1,+¥ ) 点评：导数研究问题中含有参数，抓住参数的实际意义进行讨论. 此题中的参数a，将影响导数值的符号， 即影响到单调性，故结合不等式的知识研究参数范围. 

【例5】（理） （06年全国卷Ⅰ.理12）设集合 I = { 1,2,3,4,5}  . 选择I的两个非空子集A和B，要使B中最 小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）. A.50种 B.49种 C.48种 D.47种

1344 解：当 B = { }5  时，集合 A 有 C4+C42+C4+C 3,4,5}  时，集合 A 有 4 =2-1= 15 种选择法；当 B = {

12 C2+C 2,4,5}  时，集合A有1种选择法；当 B = { 2,3,4,5}  时，集合A有1种选择法； 2 = 3 种选择法；当 B = {

112 B = { 4,5}  时，集合 A 有 C3+C32+C3  3=23 -1= 7 种选择法； B = { 3,5}  时，集合 A 有 C2+C 2 = 3 种选择法；

1B = { 2,5}  时，集合A有1种选择法； 当 B = { 4}  时，集合A有 C3+C32+C3  3=23 -1= 7 种选择法；B = { 3,4}  时，

12 12 集合 A 有 C2+C 3  时，集合 A 有 C2+C 2,3}  时，集合 A 有 1 2 = 3 种选择法；当 B = { }2 = 3 种选择法；当 B = {

种选择法，故共有49种. 选B. 

点评：排列组合中的分类加法原理，实质就是分类讨论思想的运用.

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