新课标高中数学全部精讲精练_高考二轮专题复习全稿

，其几何意义为过曲线 y= f(x ) 上的点(x,f(x )) 与原点(0,0)的直线的斜率. x - 0 

f(x ) 由圆弧图象可知，x由0至1变化时， 斜率逐渐减小，即 j (x ) = 为减函数. x

f(x1)f(x 2 ) ∵ 0<x1<x ， ∴ > . 选C. 2 < 1 x1x 2 

点评：通过构造一个函数，利用函数式的几何意义，由斜率的递减得到函数的单调性，将不等式中大小的 比较，转化为由函数单调性巧妙地进行判别. 构造函数是此题的关键，数形结合思想是解题的法宝. 

y - 2 【例4】已知实数 x, y 满足 x2+y2 +4x +3= 0 ，求的值域. x - 1 

解：把 x2+y2 +4x +3= 0 变形为 (x+2)2+y 2 = 1 ，其几何意义为：以 C (- 2,0) 为圆心，1为半径的圆. y - 2 设= k ，其几何意义为：圆C上的点 P(x,y ) 与点 Q (1,2)

 连线的斜率. x - 1 

y - 2 将= k 变形为 PQ:kx-y-k

+2= 0 ，

x - 1 

则圆心到直线PQ的距离 d =£ 1 

£k £. 解：构造函数 j (x ) y - 2 的值域为 . x - 1 y- y y- b 1 点评：形如的代数式值域的研究，可以联想到过两点的直线的斜率公式 k = 2，值域介于两条 x2- x1  x- a

切线的斜率之间. 此题还运用了圆与直线有公共点时，圆心到直线的距离不大于半径. 

【例 5】 （07年山东卷.文 19）本公司计划 2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告， 广告总费用不超过 9 万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和 200 元/分钟，规定甲、乙两个 电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、 乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和 y 分钟， 总收益为z 元，目标函数为 z=3000x+ 2000 y ． ∴ 

300 ， 300 ， ì x+ y ≤ ì x+ y ≤ ï ï 由题意得 í 500x+ 200y ≤ 90000 ， 即 í 5x+ 2y ≤ 900 ，

ï x≥ ， ≥ ï x≥ ， ≥ 0y 0. 0y 0. î î 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域． l 如图，作直线 l:3000x+2000y = 0 ，即3x+2y = 0 ．平移直线l ，从图

中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．

， ì x+y = 300 联立 í 解得 x=100， y = 200 ．即 M (100，200)  . 5x+2y = 900. î

\zmax =3000

x+2000y = 700000 （元）. 

所以，该公司在甲电视台做 100 分钟广告，在乙电视台做 200 分钟广告，公司的收益最大，最大收益是 70万元．

点评：关于线性规划问题，首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式，

然后分析目标函数中所求量 的几何意义，两次运用数形结合思想来求解，一是由约束条件准确地描画可行域，二是将目标函数变形，直观 地利用图形求得满足题设的最优解. 

【例6】（理x+cos x= a 在[0,p ] 上有两个不同的实数解，求a的取值范围. 

p p 解x+cosx=2sin(x )，作出函数 y1 =2sin(x + x Î [0,

p ] 的图象，令 y2 = a . 6 6 

由图可知， aÎ [1,2) 时，曲线 y 1 与直线 y2 = a

x+cos x= a 在 

[0,p ] 上有两个不同的实数解. ∴ 实数a的取值范围为 a

Π[1,2) . 

点评：由方程所给的等式，正确构造两个函数，画出图象进行研究，注意区间[0,p ] 的限

制. x+ cos x ， x Î

[0,p ] 的值域研究，只能得到方程有实数解时

a的范围. 

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