新课标高中数学全部精讲精练_高考二轮专题复习全稿

点评：圆锥曲线的第一定义，常用于解决过焦点的弦或焦半径组成的三角形研究问题.此题情景较为新颖， 需要抓住图形的热点，利用圆锥曲线的第一定义，发现焦半径之间的关系，从而易解. 定义法中，还有另外一 条途径是利用圆锥曲线的第二定义，通过离心率把焦半径转化为点到准线的距离. 

【例3】已知等比数列{a  = 8 ， S n } 中， S10 20 = 32 ，求 S 40 . 

解：易知 q ¹ 1 ，由等比数列的前n项和公式，得 

10 ì a1 (1- q ) 10 S == 8 ì q = 3 40 ï 10 a1 (1- q ) ï ï 1 - q ，解得 í a . 所以， S =-4´(1-34 )= 320 . í 1 40 =20 =- 4 a1 (1- q ) 1 - q ï S == 32 1 - q î 20 ï 1 - q î

点评：由方程思想与整体思想，直接利用前n项和公式求解. 在解方程的过程中，不直接求出公比q与首

a 10 1 项 a ，还是把 q 与各看成一个整体，通过整体的值来解决数列问题. 此题也可根据等比数列性质“当 1 1 - q

m q ¹- 1 ， mÎ N * 时， Sm,S2m-Sm,S3m-S 2 m , ×××构成新的等比数列，公比为 q ”来解决问题. 

2 【例4】已知关于x的方程： x3-ax2-2ax+a -1= 0 有且仅有一个实根，求实数a的取值范围. 

223解：原方程可代为 a-(x+2x)a+x-1=0,解得 a=x-1或 a=x2 +x + 1, 即 

x=a+1或 x2 +x+1-a = 0 ，

3 ∵ 原方程有唯一实根，∴ x2 +x+1-a = 0 无实根，得 D<0, 即 a < . 4 

点评：题目中的x是主元，a为辅元，但方程中x的最高次数为 3，求根比较困难，注意到a的最高次数 为2，故可视a为主元，原方程转化为关于a的二次方程. 

【例5】（理）已知f(x)=x 3 －3bx+3b

在[1，2]上恒正，求实数b的范围. 

8 解法一：f(1)=1－3b+3b=1>0， f(2)=8－6b+3b>0 即b， 3 

又 fˊ(x)=3x 2 －3b=0 求得极值点 x 0 舍去）

. 

当b£ 1时，fˊ(x)=3（x 2 －b），在

[1，2]上fˊ(x)>0 . 

∴ f(x)在[1，2]上为增函数. 

8 9 9 当1<b时，x 0 ∈[1，2] ，f(x 0 )=f) 3 －+3b>0， 解得1<b. ∴ b. 3 4 4 

点评：体现了分类讨论数学思想方法，关键是结合函数f(x)图像特征对b进行分情况讨论，一是利用增函 数的图像性质，二是非增函数时，利用闭区间内的极小值为正. 求解时不能忽视对端点函数值的研究. 

解法二：设曲线C：y=x 3 ,直线

L：y=3bx－3b

. 考察直线L：当x

如图，当直线L与曲线C相切时，斜率为yˊ=3x 2 =3b ，解得 x∴ 切点为3 ) . 

3 9 将切点坐标代入直线L得 ) =3－3b，解得 b. ∴ 4 27 由图可知，当直线 L 的斜率小于切线的斜率，即 3b4 

9 曲线C下方. 所以f(x)=x 3 －3bx+3b在[1，2]上恒正时，b. 4 

点评：体现了数形结合数学思想方法，关键是将代数问题转化为函数图形的研究. 巧妙的构造两个函数， 通过区间上图像的高低关系，转化为研究恒正问题. 同时细心地观察到直线L过定点这一重要特征. 

3 1 x 3 3 解法三：设x∈[1，2]时，x －3bx+3b>0，即x >3(x－1)b. ∴ b. 3x - 1 

3 3 1 x 13x2·(x-1) - x 1x2 ·(2x - 3) 设y，x∈[1，2]，则yˊ. 2 2 3(x - 1) 3(x - 1) 3x - 1 

3 3 9 9 令yˊ=0， 解得x，列表分析（略）后可得： 当x时，y 最小值 . ∴ b. 2 2 4 4 

点评：此解为分离参数法. 解答求参数范围的一类问题时，常将参数用函数式表示出来，将参数范围转化 为研究一个函数的值域问题. 研究较复杂函数在闭区间上的值域，常用导数法求解. 18