新课标高中数学全部精讲精练_高考二轮专题复习全稿

ì x -y 2 ï 解法二：由已知 3x+2y= 6 x 得 (x-1)+= 1 ，设 í ，则 y a 3/2 ï î 31519 2 x2+y 2=1+2cosa+cos2a+sin2a=-cos2a+2cosa+=-(cosa -2) 22222 

当cosa =- 1 时， x2+ y 2 取最大值为0；当cosa = 1 时， x2+ y 2 取最小值为4. 即0≤ x2+ y 2 ≤4. 

点评：通过方程变形，挖掘出方程的几何意义，将代数问题转化为解析几何问题. 又通过三角换元法，将 代数问题转化为三角问题. 此题两种途径转化，体现了代数、三角、解析几何等三个数学分支之间的转化，联 系到了多个知识点，有助于提高发散思维能力，我们还可以继续探究此题的其它解法. 

【例4】如图，设正三棱锥S—ABC的底面边长为a，侧面等腰三角形的顶角为30°，过A 

作与侧棱SB、SC都相交的截面AEF，求这个截面周长的最小值. 

解：如图，沿侧棱 SA 将三棱锥的侧面展开，求 D AEF 周长最小值问题就转化成了求 A、A' 

两点间的最短距离. 

由题意可知， ÐASB =30° ， SA= .  ， ÐASA' =3Ð

ASB =90°

根据余弦定理， a2=

SA2

+SB2 -2gSAgSB g cos30 ° ，解得 SA= . ∴ AA'=

. 点评：此题将几何体的侧面展开，空间问题转化成平面问题来解决，这是立体几何分支中常用的降维转化 思想. 在解答立几问题的过程中，还常用等积变换求有关几何体的体积或点到平面的距离；常用割补转化，改 变几何体的状态，由复杂几何体变为简单几何体. 同时，线线、线面、面面之间的垂直或平行的互相转化，贯 穿于立体几何始终；线线、点面、线面、面面之间的距离，既相互联系，又可相互转化. 各种转化策略的运用， 是解决立几问题的法宝. 22 2 【例5】 （06年福建卷.文理17） 已知函数 f(x)=sin2xxcosx+2cos2 x,xÎ R.

 （1）求函数 f(x ) 的 最小正周期和单调增区间；（2）函数 f(x ) 的图象可以由 y

=sin2x(xÎ R ) 的图象经过怎样的变换得到？

1- cos2x 13p 3 +2x+(1+ cos2x ) =2x+cos2x+=sin(2x ++ . 22262 

2 p ppp pp ∴ f(x ) 的最小正周期 T == p . 又由2kp-£2x+£2kp +,kÎ Z , 即 kp-£x£kp +,kÎ Z . 2 262 36 解： （1） f(x)=

∴ f(x ) 的单调增区间为[kp-p

3,kp +p kÎ Z . 6 p p

（2）先把 y= sin2 x 图象上所有点向左平移个单位长度，得到 y=sin(2x )的图象，再把所得图象 12 6 

3 p 3 上所有的点向上平移个单位长度，就得到 y=sin(2x ++ 的图象. 2 62 

点评：三角性质的研究， “化一”是主要手段，同时要结合三角函数的图像进行分析，并注意整体意识. 形 如 asinx+ bcos x x + j ) 研究. 

【例 6】（理）对于在区间[m,n ] 上有意义的两个函数 f(x ) 与 g(x ) ，如果对任意的 xÎ [m,n ] ，均有 |f(x)-g(x )|£ 1 ，则称 f(x ) 与 g(x ) 在[m,n ] 上是接近的，否则称 f(x ) 与 g(x ) 在[m,n ] 上是非接近的. 现有两

2 (x- 1) 个函数f1（x）＝1与f２（x）＝2 ， 试确定 f1 (x ) 与 f2 (x ) 在实数集R上是否是接近的？ 2(x+x + 1) 

2 (x - 1) x2 +4x + 1 x2 +4x + 1 解：由题意， 计算 |f1(x)-f2 (x )|=|12 | = || . 设2 = k ，整理后，得 2(x+x + 1) 2(x2 +x + 1) 2(x+x + 1) 

(2k-1)x2 +(2k-4)x+(2k -1)= 0 ①. 当2k -1= 0 时，解方程①，得 x = 0 . 

当2k -1¹ 0 时，方程①的判别式为 D=(2k-4)2-4(2k -1)2 ³ 0 ，化简即 k 2 £ 1 . 

x2 +4x + 1 ∴ -1££

1 ，即 |f1(x)-f2 (x )|£ 1 . 所以， f1 (x ) 与 f2 (x ) 在实数集R上是接近的. 2(x2 +

x + 1) 

点评：利用两个函数接近的定义，判断两个已知函数是否接近. 在求作差后的值域时，又通过换元法，化 归为一元二次方程判别式的问题. 重点表现为利用定义进行化归.

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