新课标高中数学全部精讲精练_高考二轮专题复习全稿

¤专题剖析：数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式 的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合. 应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意 义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决. 运用这一数学思想，要熟练掌握一 些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征. 

应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：（1）集合的运算及韦恩图；（2）函数及其图象；（3）数 列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线. 

以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法. 以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合. 

¤例题精讲：

【例1】完成下面一组典型的基础练习：

（1）如果实数x、y满足等式(x－2) 2 

＋y 2 ＝3，那么 x

2+ y 2 的最大值是（ ）. 

B. 2+ C. 2-D. 7+ （2） （06年湖南卷.文5理4） “a=1”是“函数 f(x) =x- a在区间[1,+¥ ) 上为增函数”的（ A. 2 +

A. 充分不必要条件 

B. 必要不充分条件 C. 充要条件 ）. D. 既不充分也不必要条件

（3）（2002 北京文）若直线l：y＝kx  2x＋3y－6＝0 的交点位于第一象限，则直线 l 的倾斜角

pp pp pp pp 的取值范围是（ ）.    A.[,B.(,C.(,D.[,] 63 62 32 62

x （4） （06 年北京卷.文 11）已知函数 f(x)=a-4a + 3 的反函数的图象经过点(- 1,2) ，那么a的值等

于 . r r r r r r r r （5）两非零向量a 和b ，若|a +b |=|a ­b |成立，则a 与b 所成角的大小为________. 

解：（1）由圆(x－2) 2 ＋y 2 ＝3上的点与原点连线的距离，结合圆几何性质，易知选D. 

（2）如右图所示，要函数 f(x)=|x- a | 在区间[1,+¥ ) 上为增函数，则 a£ 1 ，故选择A. 

（3）如图，直线2x+3y－6=0过点A

（3，0），B（0

，2），直线l：y＝kx (0, . 

当直线

 l 过 A点时，两直线的交点在x 轴；当直线

 l 绕C 点逆时针（由位置AC 到位置 BC）旋

p 转时，交点在第一象限. 根据 k AC =，得到直线l的斜率k= . 6

pp ∴倾斜角范围为(,. 选B. 62

（4）由题知点(2,- 1) 必然在函数 f(x)=ax -4a + 3 上，即 a2-4a+3=-1Þa2 -4a+4=0Þa = 2 r r r r r r （5）由|a +b |=|a ­b |，可知向量几何运算中的平行四边形为矩形，则a 与b 所成角的大小为90°. 

【例 2】 （04 年湖南卷.文 16）若直线 y= 2a  与函数 y=|ax -1|(a>0且 a ¹ 1) 的

图象有两个公共点，则a的取值范围是____. 

解：对a分两种情况讨论：

当 a > 1 时，作出直线 y= 2a  ，并由平移变换及翻折变换作出函数 y=|a x - 1| 的

图象，由图可知，只有一个公共点. 

1 当0<a < 1 时，作出 y=|a x - 1| 及 y= 2a  的图象，由图可知，当2a < 1 即 a< 2 

时有两个公共点. 

1 所以，a的取值范围是 (0,). 2 

点评：中学数学研究数与形，数是形的抽象概括，形是数的直观表现. 利用函数的图象，

可以解决有关不等式与方程的问题，关键是将代数问题转化为平面图形位置关系的研究. 此

题等价于关于x的方程|ax -1|= 2a  (a>0且 a ¹ 1) 有两个实根，求a的取值范围. 

【例3】 （05年惠州一模.10）已知函数f(x)（0≤x≤1）的图象是一段圆弧（如图所示），

若 0<x1<x ，则（ ）. 2 < 1 

f(x1)f(x f(x1)f(x f(x1)f(x 2 ) 2 ) 2 ) A. B. C. D. 前三个判断都不正确 < = 

> x1x2  x1x xx 2 12