新课标高中数学全部精讲精练_高考二轮专题复习全稿

【例3】已知sin（α+β），sin（α－β），求的值. tan b 3 5 

2 ì sinacosb+cosasin b = ①ï 3 解：由已知得 í . 1 ï sinacosb-cosasin b = ② î 5

137 ①式＋②式，解得sinαcosβ； ①式－②式，解得cosαsinβ. 30 30 

sina 13 

tanasinacosb 13 所以，==== . tanbsincosasinb 7 7 

cosb 30

点评：已知两角和与差的正弦或余弦，先用和差角公式展开式子，联立方程组可得到两角正切的比值或积 值. 另一类研究sina+ cos a 或sina- cos a 的三角问题，也可运用方程思想. 

【例4】已知三次方程 x3 -6x+1-m = 0 恰有三个相异实数根，求实数m的范围. 

2 解：构造函数 f(x

)=x3 -6x+1 - m ，则 f'(x)=3x - 6 . 令

 f' (x )= 0

 ，解得 x =. 

要使 y=

f(x ) 

与x轴交于不同的三个点，则只须

 f

g f (< 0 ，即 

(-+1

-m-1

-m)=+1-m)(-+1-m )< 0 ，解得 -1<m <+ 1 . 点评：将方程 f(x )= 0 的根，转化为函数 y= f(x ) 图象与x轴的交点. 题中三次曲线连续且光滑，要求其 与x轴有三个交点，只需函数极大值与极小值异号即可. 可以看出，数形结合思想是转化问题的途径，导数思 想是解决问题的工具，构造函数是用导数研究不等式与方程的前提. 

【例5】 （06年重庆卷.文19）设函数 f(x)=x3-3ax2 + 3bx  的图像与直线12x+y -1= 0 相切于点(1,- 11) . 

（1）求 a, b的值； （2）讨论函数 f(x ) 的单调性. 

解：（1）求导得 f'(x)=3x2 -6ax+ 3b  . 由于 f(x ) 的图像与直线12x+y -1= 0 相切于点(1,- 11) ，

1-3a+3b =- 11 ì 所以 f(1)=-11,f ' (1)=- 12 ，即 í ，解得： a=1,b =- 3 ． 3-3a+3b =- 12 î

（2由 a=1,b =- 3 ，得 f'(x)=3x2-6ax+3b=3(x2 -2x-3)=3(x+1)(x - 3) . 

令 f'(x )> 0 ，解得 x<- )< 0 ，解得 -1<x < 3 . 1 或 x > 3 ；又令 f'(x

故当 xÎ( -¥,- 1)  时，f(x)是增函数，当 xÎ( 3, +¥ ) 时，f(x)也是增函数，当 xÎ( - 1,3 ) 时，f(x)是减函数. 点评：利用导数这一工具解决函数的单调性质， 求解单调区间， 是新教材的一个亮点，

也为高等数学打下基础，在中学数学学习中必须予以重视. 

【例6】（理） （07年北京.理19）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r ，短半 轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD的

端点在椭圆上，记 CD= 2 x ，梯形面积为S ．

（1）求面积S 以x为自变量的函数式，并写出其定义域；（2）求面积S 的最大值． 解：（1）依题意，以AB 的中点O为原点建立直角坐标系

O- xy （如图），则点C 的 x2y 2 

横坐标为x．点C 的纵坐标 y 满足方程2+2 = 1(

y ≥ 0) ，解得 y=

<x< 

r4 r

1 S=(2x+2r)g =2(x+r)，其定义域为(0,r ) ． 2 

（2）记 f(x)=4(x+r)2(r2-x2 )， 0 <x< r ， 则 

1 f¢ (x)=8(x+r)2 (r- 2x ) ． 令 f¢ (x )= 0 ，得 x= r ． 2 

r r 1因为当0 <x 时， f¢ (x )> 0 ；当<x< r 时， f¢ (x )< 0 ，所以 f(r ) 是 f(x ) 的最大值． 2 2 2 

1 2 2 因此，当 xr 时，S  ．即梯形面积S ． 2 点评：解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数. 在用导数工具来研究目标函数的最大（小）值， 也没有进行列表分析，而是通过对单调性的分析及端点函数值的比较，得到目标函数的最大值. 

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