1.3 无穷大

定义：（1）设{}n x 是实数序列，如果对任意正实数E ，存在自然数N ，使得当n N >时就有

n x E >

那我们就说实数序列{}n x 发散于+∞，记为

lim n x =+∞

（2）设{}n y 是实数序列，如果对任意正实数E ，存在自然数N ，使得当n N >时就有

n y E <-

那我们就说实数序列{}n y 发散于-∞，记为

lim n y =-∞

（3）设{}n z 是实数序列，如果序列{}

n z 发散于+∞，即l i m n z =+∞，那么我们就称{}n z 为无穷大序列，记为 lim n z =∞

注记：（1）若集合E R ⊂无上界，则记

sup E =+∞

（2）若集合F R ⊂无下界，则记

sup F =-∞

定理1：单调序列必定有（有穷的或无穷的）极限，具体而言是：

（1）递增序列{}n x 有极限，且

{}lim sup n n x x =

（2）递减序列{}n y 有极限，且

{}lim inf n n y y =

定理2：设{}n x 和{}n y 是实数序列，满足条件

,

n n x y n N ≤∀∈ 则有：