（闭区间套原理）

定理2（闭区间套原理）：如果实数序列{}n a 和{}n b （或闭区间序列[]{}

,n n a b ）满足条件 （1）[][]11,,n n n n a b a b --⊂（或者11,1n n n n a a b b n --≤≤≤∀>） （2）()lim 0n n b a -= 那么

（i ）闭区间序列[]{}

,n n a b 形成一个闭区间套。 （ii ）实数序列{}n a 和{}n b 收敛于相同的极限值c 。

lim lim n n a b c ==

（iii ）c 是满足以下条件的唯一实数值。

,n n a c b n N ≤≤∀∈

证明：

（ii ）由条件（1）可得

111n n n n a a b b b --≤≤≤≤≤

我们可以看到{}n a 单调上升而有上界，{}n b 单调下降而有下界，因此{}n a 和{}n b 都是收敛序列。由条件（2）可得()lim lim lim 0n n n n b a b a -=-=，因此实数序列{}n a 和{}n b 收敛于相同的极限值。

lim lim n n a b c ==

（iii ）因为

{}{}sup inf n n c a b ==

所以显然有

,n n a c b n N ≤≤∀∈

假如还有一个实数'c 满足

',n n a c b n N ≤≤∀∈

由于

lim lim n n a b c ==

那么根据夹逼准则，有

'lim 'lim lim n n c c a b c ====

则证明了c 是唯一的。