()()f x g x <

定理5（复合函数的连续性）：设函数)(x f 在0x 点连续，函数()g y 在00()y f x =点连续，那么复合函数(())g f x 在0x 点连续.

定义单侧连续：设函数)(x f 在00(,]x x η-上有定义，如果

00lim ()()x x f x f x -→=

那么我们就说函数)(x f 在0x 点左侧连续。类似的可以定义右侧连续。引入记号

00

00()lim (),()lim ()x x x x f x f x f x f x -+-+→→== 我们知道极限存在的充分必要条件是两个单侧极限存在并且相等（这个相等值为极限值A ，不一定是该点的函数值0()f x ），可以写成

00()()f x f x A -+==

但是如果在0x 点左连续和右连续，则说明在0x 点两个单侧极限存在并且相等，且这个相等的值一定是该点的函数值0()f x ），可以写成

000()()()f x f x f x -+==

)(x f 在0x 点左连续和右连续是)(x f 在0x 点连续的充分必要条件。

简单的说就是：

00000()()()()()

f x x f x x f x x f x x f x ⇔⇔在点连续在点左连续,右连续

在点连续在点两个单侧极限存在,且值为

定理6：设函数)(x f 在0(,)U x η上有定义，则)(x f 在0x 点连续的充分必要条件是

000()()()f x f x f x -+==

反过来说，如果)(x f 在0(,)U x η上有定义，但)(x f 在0x 点不连续，则称0x 为间断点。有情形I 和情形II ，这两种情形下0x 点分别成为第一类间断点和第二类间断点。

情形I （第一类间断点）：两个单侧极限都存在，但

00()()f x f x -+≠