1.8 单调函数和反函数

引理：集合J R ⊂是一个区间的充分必要条件为：对于任意两个实数,J αβ∈，介于α和β之间的任何实数γ也一定属于J 。

定理1：如果函数f 在区间I 上连续，那么

(){()|}J f I f x x I ==∈

也是一个区间。

定理2：如果函数f 在区间I 上单调。则函数f 在区间I 上连续的充分必要条件为：()f I 也是一个区间。

反函数定义：设函数f 在区间I 上连续，则()J f I =也是一个区间。如果函数f 在区间I 上严格单调，那么f 是从I 到()J f I =的一一对应。这时，对任意()y J f I ∈=，恰好只有一个x I ∈能使得()f x y =。我们定义一个函数g 如下：对任意的y J ∈，函数值()g y 规定为由关系()f x y =所决定的唯一的x I ∈。这样定义的函数g 称为是函数f 的反函数，记为

1g f -=

我们看到，函数f 及其反函数1g f -=满足如下关系：

()()g y f f x y =⇔=

定理3：设函数f 在区间I 上严格单调并且连续，则它的反函数1g f -=在区间()J f I =上

严格单调并且连续。