1.7 闭区间上连续函数的重要性质

函数在闭区间上连续的定义：如果函数f 在闭区间[,]a b 上有定义，在每一点(,)x a b ∈连续，在a 点右侧连续，在b 点左侧连续，那么我们就说函数f 在闭区间[,]a b 上连续。

引理：设{}[,]n x a b ⊂，0n x x →，则0[,]x a b ∈。

定理1：设函数f 在闭区间[,]a b 上连续。如果()f a 与()f b 异号，那么必定存在一点(,)c a b ∈，使得

()0f c =

定理2（介值定理）：设函数f 在闭区间[,]a b 上连续。如果闭区间的两端点的函数值()f a α=与()f b β=不相等，那么在这两点之间函数f 能够取得介于α与β之间的任意值γ。这就是说，如果()()f a f b γ<<，那么存在(,)c a b ∈，使得

()f c γ=

定理3：设函数f 在闭区间[,]a b 上连续，则f 在闭区间[,]a b 上有界。

定理4（最大值与最小值定理）：设函数f 在闭区间[,]a b 上连续，M ，m 分别是函数f 在闭区间[,]a b 上的最大值与最小值，记

[,]

[,]sup (),inf ()x a b x a b M f x m f x ∈∈==

则存在',''[,]x x a b ∈，使得

('),

('')f x M f x m ==

一致连续定义：设E 是R 的一个子集，函数f 在E 上有定义，如果对任意0ε>，存在0δ>，使得只要

1212,,||x x E x x δ∈-<