1.2 收敛原理

（单调序列定义）

定义：（１）若实数序列}{n x 满足

1,,n n x x n N +≤∀∈

则称}{n x 是递增的或者单调上升的，记为

{}.n x ↑

（２）若实数序列{}n y 满足

1,,n n y y n N +≥∀∈

则称{}n y 是递减的或者单调下降的，记为

{}n y ↓

（３）单调上升的序列和单调下降的序列统称为单调序列。

定理１：递增序列}{n x 收敛的充分必要条件是它有上界，其上确界记为sup{}n x 。 定理1推论：递减序列{}n y 收敛的充分必要条件是它有下界，其下确界记为inf{}n x 。 扩展：因为一个序列的收敛性及其极限值都只与这序列的尾部（即从某一项之后的项）有关，所以定理1和它的推论中单调性条件可以虚弱为“从某一项之后单调”，即为

10,

,n n x x n N +≤∀>

及 10,

,n n y y n N +≥∀>

（自然对数的底e ）

自然对数的底e 通过下面这个式子求得 1lim 1n n e n →+∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

我们先来证明序列11n n x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

是收敛的。 （1）序列11n n x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是单调上升的。