那么

lim ()x a

g x A →=

定理3：关于函数的极限，有以下的运算法则：

lim(()())lim ()lim ()x a

x a

x a

f x

g x f x g x →→→±=±

lim(()())lim ()lim ()x a

x a

x a

f x

g x f x g x →→→=⋅

lim ()()lim ()lim ()

x a

x a x a

g x g x f x f x →→→= 定理4（复合函数求极限）：设函数g 在b 点的某个去心邻域()U b 上有定义，lim ()y b

g y c →=。

又设函数f 在a 点的某个去心邻域()U a 上有定义，f 把()U a 中的点映射到()U b 之中（用记号表示就是：(())()f U a U b ⊂）并且lim ()x a

f x b →=，则有

lim (())x a

g f x c →=

多项式函数与有理数分式函数求极限的法则如下： （1）设()P x 是任意多项式，a R ∈，则

lim ()()x a

P x P a →=

（2）设()P x 是任意多项式，()Q x 是非零多项式a R ∈，()Q a 不都是0，则

()()

lim

()()

x a P x P a Q x Q a →=

（3）设

1011

0100(),

(),0,0

m m m n

n n P x a x a x a Q x b x b x

b a b --=+++=++

+≠≠，则

00,

()lim ,()

0,

x m n a P x m n Q x b m n

→∞⎧+∞>⎪⎪==⎨⎪⎪<⎩如果如果如果 因为

100100,()lim lim ,()0,

m m m n x x n n

m n a

a a a P x x x x

m n b b Q x b b x x m n

-→∞→∞⎧

+∞>⎛

⎫⎪+++ ⎪⎪=== ⎪⎨ ⎪⎪++

+⎝

⎭⎪<⎩如果如果如果