（Bolzano-Weierstrass 定理） 定义：设{}n x 是实数序列，而

1231k k n n n n n +<<<

<<<

是一串严格递增的自然数，则 1231,,,,,,k k n n n n n x x x x x +

也形成一个实数序列。我们把序列{}k n x 叫做序列{}n x 的子序列（或部分序列），要注意的是子序列{}k n x 的序号是 k 。

定理3：设序列{}n x 收敛于a ，则它的任何子序列{}

k n x 也都收敛于同一极限a 。 证明：对于任意0ε>，存在0N N ∈，使得只要0n N >，就有 n x a ε-<

当0k N >时就有0k n k N ≥>，因而此时有

k n x a ε-<

定理4（Bolzano-Weierstrass ）：设{}n x 是有界序列，则它具有收敛的子序列。

（柯西收敛原理）

柯西序列定义：如果序列{}n x 满足条件：对于任意0ε>，存在0N N ∈，使得当0,m n N >时，就有

m n x x ε-<

则此序列为柯西序列，又称基本序列。 引理：柯西序列{}n x 是有界的。 证明：对于任意1ε=，存在0N N ∈，使得当0,m n N >时，就有

1m n x x -<

于是对于0n N >，我们有

0001111n n N N N x x x x x +++≤-+<+

若记