（1）如果lim n x =+∞，那么lim n y =+∞；

（2）如果lim n y =-∞，那么lim n x =-∞。 定理3：如果lim n x =+∞（或-∞，或∞），那么对于{}n x 的任意子序列{}

k n x 也有 lim k n x =+∞（或-∞，或∞）

定理4：设0,n x n N ≠∀∈，则

{}n x 是无穷大序列⇔1n x

⎧⎫⎨⎬⎩⎭

是无穷小序列 扩充的实数系：{,}R R =⋃-∞+∞ 定理5：实数序列{}n x 至多只能有一个极限。 扩充的实数系R 中的运算：

（1）如果x R ∈，那么 ()()x x +±∞=±∞+=±∞

()x -±∞=∞

（2）如果x R ∈，0x >，那么

()()x x ⋅±∞=±∞⋅=±∞

如果y R ∈，0y <，那么

()()y y ⋅±∞=±∞⋅=∞

（3）如果x R ∈，那么

0x x ==+∞-∞

（4）()()+∞++∞=+∞，()()+∞--∞=+∞ ()()-∞+-∞=-∞，()()-∞-+∞=-∞ ()()+∞⋅+∞=+∞，()()-∞⋅-∞=+∞ ()()()()+∞⋅-∞=-∞⋅+∞=-∞

（5）除此之外，其余都没有定义。