1.6 连续与间断

定义I ：设函数)(x f 在0x 点的邻域),(0ηx U 上有定义。如果对任何满足条件0x x n →的序列),(}{0ηx U x n ⊂，都有

)()(lim 00x f x f n x x n =→

那么我们就说函数f 在0x 点连续，或者说0x 点事函数f 的连续点。 定义II ：设函数)(x f 在0x 点的邻域),(0ηx U 上有定义。如果对任意0>ε，存在0>δ，使得只要δ<-||0x x ，就有

ε<-|)()(|0x f x f

那么我们就说函数f 在0x 点连续，或者说0x 点事函数f 的连续点。

定理1：设函数f 在0x 点连续，则存在0>δ，使得函数f 在),(0δx U 上有界。（证明过程参考函数极限）

定理2：设函数)(x f 和)(x g 在0x 点连续，则

（1）)()(x g x f ±在0x 点连续；

（2）)()(x g x f ⋅在0x 点连续；

（3）)

()(x g x f 在使得0)(0≠x g 的0x 处连续； （4）)(x cg 在0x 点连续。

定理3：设函数)(x f 在0x 点连续，则函数|)(|x f 也在0x 点连续. 证明：|)()(|||)(||)(||00x f x f x f x f -≤-，余下易证。

定理4：设函数)(x f 和)(x g 在0x 点连续。如果00()()f x g x <，那么存在0δ>，使得对于0(,)x U x δ∈有