第一篇 分析基础

1.1收敛序列

（收敛序列的定义）

定义：设}{n x 是实数序列，a 是实数，如果对任意0>ε都存在自然数N ，使得只要N n >，就有

ε<-a x n

那么}{n x 收敛，且以a 为极限，称为序列}{n x 收敛收敛于a ，记为

a x n =lim 或者)(+∞→→n a x n

定理1：如果序列}{n x 有极限，那么它的极限是唯一的。 定理2（夹逼原理）：设}{n x ，}{n y 和}{n z 都是实数序列，满足条件

N n z y x n n n ∈∀≤≤,

如果a z x n n ==lim lim ，那么}{n y 也是收敛序列，且有

a y n =lim

定理3：设}{n x 是实数序列，a 是实数，则以下三陈述等价

（1） 序列}{n x 以a 为极限；

（2） {}n x a -是无穷小序列；

（3） 存在无穷小序列{}n a 使得

,

1,2,.n n x a a n =+=

（收敛序列性质）

定理4：收敛序列}{n x 是有界的。 定理5： （1）设a x n =lim ，则a x n =lim 。

（2）设a x n =lim ，b y n =lim ，则b a y x n n ±=±)lim(。

（3）设a x n =lim ，b y n =lim ，则ab y x n n =)lim(。