111112111(1)(1)(1)2!3!1121(1)(1)(1)!1121(1)(1)(1)!n n x n n n n k k n n n

n n n n n ⎛⎫=+=++-+-- ⎪⎝⎭

-++----++--- 1

1111112111(1)(1)(1)12!13!111121(1)(1)(1)!1111121(1)(1)(1)!111

112(1)(1)(1)(1)!111n n x n n n n k k n n n n n n n n n n n n n ++⎛⎫=+=++-+-- ⎪++++⎝⎭-++---+++-++---++++---++++ 对比n x 和1n x +的展开式，1n x +前面1n +项的每一项都比n x 中相应项要大，即 11211121(1)(1)(1)(1)(1)(1)!111!k k k n n n k n n n

----->---+++ 除此之外1n x +还比n x 在最后多一个正项。因此我们得出n x 是单调上升的，即

1,,n n x x n N +<∀∈

（2）序列11n n x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是有上界的。 21111121111(1)(1)(1)(1)2!!11111222

1112113111122n n n n n x n n n n n n -⎛⎫=+=++-++--- ⎪⎝⎭

<+++++⎛⎫- ⎪⎝⎭=+<+=--

序列11n n x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

是单调上升且有上界，因此必是收敛的，此收敛值用e 表示。通过计算机模拟，我们可以得到e 的近似值，前几位是2.718281828459045…

在数学中，以e 为底的对数称为自然对数，e 称为自然对数的底，正实数x 的自然对数通常记为ln x ，log x 或者log e x 。