导数是新教材的一个亮点,它是连接初等数学与高等数学的桥梁,用它可以解决许多数学问题,它是近年高考的的热点。它不仅帮助即将进入大学的高三学生奠定进一步学习的基础,而且在解决有关问题已经成为必用工具。由于导数的广泛应用,现已成为高考的热点知识本文拟对导数知识的全面归纳,然后通过一些实例全面介绍导数在实际数学中的应用,让人们全面了解导数这一工具的利用

侧附近有定义，若对该邻域内的任意点x（x x0）恒有f(x) f(x0)，则f(x0)为极大值；若f(x) f(x0)成立，则f(x0)为极小值。

应当注意：极值是一个局部概念，它只限于x0的某一邻域内，通过函数值相比较才能显示出来。在一个区间上，函数可能有几个极大、极小值。可能会有极大值小于极小值。

极值点和导数的关系如何？由图6可知：

定理2 若x0是函数

f(x)的极值点，则f'(x0) 0或

者f'(x0)不存在。

注意：①f'(x0) 0是点x0

为极值点的必要条件，但不是充分条件。如y x3，y' 3x2，y'|x 0 0但(0,0)点不是函数极值点；②函数f(x)在导数不存在

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y' 2，的点也可能有极值。如y x，

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x

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y'|x 0不存在，但(0,0)点不是函数极值点（如图7）

将导数为0的点或者不可导的点统称为驻点。因此函数的极值必在驻点处取得，但驻点不一定是极值点，所以在求得函数极值的驻点后，就是找到了所有极值可疑点。

下面介绍函数在驻点或导数不存在的点取得极值的充分条件，即极值的判断方法。

定理3（极限存在的充分条件之一） 设f在x0连续，在某邻域Uo(x0; )内可导，

①若x (x0 ;x0)（x0左侧）时f'(x) 0，而x (x0;x0 )（x0右侧）

f'(x) 0，则函数f(x)在x0处取极大值f(x0)

②若x (x0 ;x0)（x0左侧）时f'(x) 0，而x (x0;x0 )（x0右侧）时

f'(x) 0，则函数f(x)在x0处取极小值f(x0)

③若x0两侧f'(x)不变号，则f(x)在x0处无极值。