导数是新教材的一个亮点,它是连接初等数学与高等数学的桥梁,用它可以解决许多数学问题,它是近年高考的的热点。它不仅帮助即将进入大学的高三学生奠定进一步学习的基础,而且在解决有关问题已经成为必用工具。由于导数的广泛应用,现已成为高考的热点知识本文拟对导数知识的全面归纳,然后通过一些实例全面介绍导数在实际数学中的应用,让人们全面了解导数这一工具的利用

例2：已知函数f(x) x2eax(a 0,e为自然对数的底数)，试讨论函数f(x)单调性。

分析：引进导数这一工具之前，判断函数单调性的一般方法是定义法。此题利用定义法就无法的出答案，而有了导数之后，问题就易解决了。（此题是04年湖南高考题）

解：因f'(x) 2xeax ax2eax x(ax 2)eax，所以 （1）当a 0时，令f'(x) 0得x 0；

若x 0，则f'(x) 0，从而f(x)在(0, )上单调递增； 若x 0，则f'(x) 0，从而f(x)在( ,0)上单调递减；

2

（2）当a 0时，令f'(x) 0得x 0或x ；

a

若x 0，则f'(x) 0，从而f(x)在( ,0)上单调递减；

22

，则f'(x) 0，从而f(x)在[0, )上单调递增； aa22

若a ，则f'(x) 0，从而f(x)在[ , )上单调递减。

aa

若0 a

1．2利用导数判断函数凹凸性及拐点

在研究函数图形的变化状况时，知道它的上升和下

降顾虑很有好处，但不能完全反映它的变化规律。如图4所示的函数y f(x)的图形在区间(a,b)内虽然是一直

上升的，但却有不同的弯曲形状。因此，研究函数图形时，考察它的弯曲形状以及扭转弯曲方向的点是必要的。从图4看出，曲线向下弯曲的弧度在这段弧段任意点的切线下方，曲线向上下弯曲的弧度在这段弧段任意点的切线上方，据此给出定义如下：

定义1 在某区间内，若曲线弧位于其上任意一点的切线上方，则称曲线在该区间内是上凸的（也称在该区间内此函数为凹函数）；在某区间内，若曲线弧位于其上任意一点的切线下方，则称曲线在该区间内是下凹的（也称在该区间内此函数为凸函数）

那么曲线的凹凸性与导数之间有什么关系呢？ 按定义是很难判断凹凸性的，，对于凹凸性可以用二介导数来确定。即有判定定理。

定理2：设函数y f(x)在区间(a,b)上具有二介导数， ①当f''(x) 0时，则曲线为凸（此时在该区间为凹函数）