导数是新教材的一个亮点,它是连接初等数学与高等数学的桥梁,用它可以解决许多数学问题,它是近年高考的的热点。它不仅帮助即将进入大学的高三学生奠定进一步学习的基础,而且在解决有关问题已经成为必用工具。由于导数的广泛应用,现已成为高考的热点知识本文拟对导数知识的全面归纳,然后通过一些实例全面介绍导数在实际数学中的应用,让人们全面了解导数这一工具的利用

当(a 0)时，x1 1

,x2 0。而当x 0时，f(x) x(x 2a)ex 0；

x 0时，f(0) 0。

所以当x a 1

f(x)取得最小值。

（3）利用导数求函数值域

求函数的值域是中学数学的难点，下面介绍利用高中教材新增加内容---导数来求解值域

例8、求函数y

解：函数的定义域为[

2, )，

y'

又

可见当x 2时，y' 0

所以y [ 2, )上是增函数。而f( 2) 1， 所以函数y [ 1, )

（4）实际问题中导数的应用 例9、（2004年全国高考题）甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入.在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系式x 若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）。

(1) 将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获的最大利润的年产量；

(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y 0.002t2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？

导数是新教材的一个亮点,它是连接初等数学与高等数学的桥梁,用它可以解决许多数学问题,它是近年高考的的热点。它不仅帮助即将进入大学的高三学生奠定进一步学习的基础,而且在解决有关问题已经成为必用工具。由于导数的广泛应用,现已成为高考的热点知识本文拟对导数知识的全面归纳,然后通过一些实例全面介绍导数在实际数学中的应用,让人们全面了解导数这一工具的利用

解 （1

）由题意得，乙方的实际年利润为：w st

100021000210002

)时，) 因为w s(t) s，所以当t (w取sss

2

10002

)（吨）. 的最大值，因此乙方获的最大利润的年产量t (s

(2)设甲方在索赔中获得的净收为v元，则v st 0.002t2，将乙方获的最大

10002

)代入上式，可得到甲方净忙收入v与赔付价格s之间的利润的年产量t (s

100022 10003

函数关系式v st 0.002t ，令v 0得s 20.因当s 20时4ss

2

v 0；当s 20时v 0，所以当s 20时，v可取最大值。故甲方向乙方要求

的赔付价格s是20（元/吨）时，可获得最大净收入。

1．4利用导数知识描绘函数图形

为有助于某些函数图形的描绘，下面介绍曲线的渐近线。 （1）曲线的渐近线

定义3 若曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某天直线的距离趋于0，则称此直线为曲线的渐近线。

水平渐近线 若曲线y f(x)的定义域是无限区间，且有：limf(x) b，

x

或limf(x) b，则直线y b为曲线y f(x)的水平渐近线。

x

f(x) ，或lim f()x ，则直线垂直渐近线 若曲线y f(x)有：lim

x c

x c

x c为曲线y f(x)的垂直渐近线。

斜渐近线 若lim[f(x) (ax b)] 0成立，则y ax b是曲线的一条斜渐

x

近线。

下面介绍求a,b的公式。 由lim[f(x) (ax b)] 0有：

x

f(x)b

a ] 0

x xx

f(x)b

a ] 0 所以 lim[

x xx

f(x)

即 a lim

x x

limx[