导数是新教材的一个亮点,它是连接初等数学与高等数学的桥梁,用它可以解决许多数学问题,它是近年高考的的热点。它不仅帮助即将进入大学的高三学生奠定进一步学习的基础,而且在解决有关问题已经成为必用工具。由于导数的广泛应用,现已成为高考的热点知识本文拟对导数知识的全面归纳,然后通过一些实例全面介绍导数在实际数学中的应用,让人们全面了解导数这一工具的利用

那么点p(1,2)到直线x y 5

0的距离为| 故抛物线y2 4x上的动点，求过P到直线x y 5

0的最小距离为

3．利用导数研究方程的根

例15、已知f(x) lnx,g(x) x，是否存在实数k，使方程

1

g(x2) f(1 x2) k有四个不同的实数根，若存在，求出k的取值范围；若不2

存在，说明理由。

11

解：令h(x) g(x2) f(1 x2) x2 ln(1 x2) k

22

2xx3 xx(x 1)(x 1)

则h(x) x 1 x21 x21 x2

'

,0,1令h'(x) 0，得x 1.当x变化时，h(x)、h'(x)的变化关系如下表：

故存在k ( ln2,0)，使方程有4个不同的实数根

2

4．应用导数证明不等式

利用高中新增内容的导数来证明不等式，关键是“构造函数”，解决问题的依据是函数的单调性，这一方法在高等数学中应用的非常广泛，体现了导数的工具，也是与高等数学接轨的有力点。

例16、若x 1，证明：ln(x 1) x 证明：令f(x) ln(x 1) x

1x 1 ， x 1x 1

又x 1，则x 1 0

则f'(x)