导数是新教材的一个亮点,它是连接初等数学与高等数学的桥梁,用它可以解决许多数学问题,它是近年高考的的热点。它不仅帮助即将进入大学的高三学生奠定进一步学习的基础,而且在解决有关问题已经成为必用工具。由于导数的广泛应用,现已成为高考的热点知识本文拟对导数知识的全面归纳,然后通过一些实例全面介绍导数在实际数学中的应用,让人们全面了解导数这一工具的利用

则当 1 x 0时，f'(x) 0，f(x)为增函数 当x 0时，f'(x) 0，f(x)为减函数 所以当x 0时，f(x)取得最大值

因此当x 1时恒有f(x) 0，即x 1时，有ln(x 1) x

例17、（2004年全国卷理工22题）已知函数f(x) ln(1 x) x，g(x) xlnx，

a b

设0 a b证明：0 g(a) g(b) 2g() (b a)ln2

2'

证明：由g(x) xlnx有g(x) lnx 1

a x

设F(x) g(a) g(x) 2g()

2

a x'a x

)] lnx ln则F'(x) lnx 1 2[g( 22

当0 a x时，F'(x) 0，当x a时，F'(x) 0因此，F(x)在区间(0,a)内是减函数，在区间[a, )函数，在区间内为增函数，于是在x a，F(x)有最小值F(a) 0又b a，

a b

)； 所以o g(a) g(b) 2g(2a x

) (x a)ln2， 设G(x) g(a) g(x) 2g(2a x'

)] ln2 lnx ln(a x) 则G'(x) g'(x) 2[g(2

当x 0时，G'(x) 0，因此G(x)在区间(0, )内为减函数； 因为G(a) 0，b a，所以G(b) 0，

a b

) (b a)ln2。 即：g(a) g(b) 2g(2

a b

) (b a)ln2 综上述：0 g(a) g(b) 2g(2

5．导数在数列中的应用

导数在函数与不等式方面的应用是考试的热点，而数列作为实质意义上的函数，利用导数研究数列的单调性及最值问题更简便。

例18、已知函数f(x) 2x 2 x，数列{an}满足f(log2an) 2n （1）求an；

（2）证明数列{an}是递减数列