导数是新教材的一个亮点,它是连接初等数学与高等数学的桥梁,用它可以解决许多数学问题,它是近年高考的的热点。它不仅帮助即将进入大学的高三学生奠定进一步学习的基础,而且在解决有关问题已经成为必用工具。由于导数的广泛应用,现已成为高考的热点知识本文拟对导数知识的全面归纳,然后通过一些实例全面介绍导数在实际数学中的应用,让人们全面了解导数这一工具的利用

器的电量对电压的导数等于电容，功对时间的导数等于功率，磁通量对时间的导数的相反数是感应电动势，在场强方向上电势对位移的导数等于电场强度等等。

例21.一质点运动方程为s 8 3t2

（1）求质点在[1,1 t]这段时间内的平均速度； （2）求在t 1时的瞬时速度（用定义和求导两种方法）.

解：（1）质点在[1,1 t]这段时间内的平均速度为：

sf(1 t) f(1)

6 3 t t t

（2）定义法：质点在t 1时的瞬时速度v lim

s

6

t 0 t

导数法：质点在t 1时的瞬时速度v s'(t) 6t 当t 1时，v 6

例22、假设一个闭合线圈的磁通量 3sin(5t) 4cos(5t),求感应电动势的最大值。

3

解：根据电磁感应定律 ' 15cos(5t) 20sin(5t) 25sin(5t arctan),

4

所以感应电动势的最大值为25V。

8．经济学中的导数应用

数学的应用遍及所有的科学领域，也深入到人们的日常生活，而导数高等数学知识也逐步应用到各种经济问题。

1、边际问题

边际成本，边际收益，边际利润，边际需求在数学上可以表达为各自总函数的导数.

比如某工厂对其产品的情况进行了大量统计分析后，得出总利润L(Q)（元）与每月产量Q（吨）的关系为L L(Q) 250Q 5Q2，试确定每月生产20吨，25吨，35吨的边际利润并作出经济解释.

边际利润函数L'(Q) 25 0

1Q，0则L'(Q)|x 20 50，L'(Q)|x 25 0，

L'(Q)|x 35 100，上述结果表明当生产量每月为20吨时再增加1吨，利润将增加50元；当生产量每月为25吨时再增加1吨，利润将不变；当生产量每月为2035吨时再增加1吨，利润将减少100元.这说明，对厂家来说，并非生产的产品数量越多，利润就高.

2.弹性分析

在经济管理中弹性的概念应用十分广泛，许多场合都可以用弹性来解释和分