导数是新教材的一个亮点,它是连接初等数学与高等数学的桥梁,用它可以解决许多数学问题,它是近年高考的的热点。它不仅帮助即将进入大学的高三学生奠定进一步学习的基础,而且在解决有关问题已经成为必用工具。由于导数的广泛应用,现已成为高考的热点知识本文拟对导数知识的全面归纳,然后通过一些实例全面介绍导数在实际数学中的应用,让人们全面了解导数这一工具的利用

该定理的直观含义为：函数由单调增加（或单调减少）变成单调减少（或单调增加）的转折点，即为极大值点（或极小值点）。

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例4、求函数f(x) x x3的单调区间和极值

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解：f(x) 1 x，当x 1时，f'(x) 0；而x 0时f'(x)不存在。因此，

'

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由表可见，函数在区间( ,0]，[1, )单调递增；在区间(0,1)单调递减。

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在x 0处有极大值f(0) 0，在点x 1处有极小值f(1) 。

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若函数的二介导数存在，有如下的判定定理；

定理4（极限存在的充分条件之二） 设f'(x) 0，f''(x)存在， ①若f''(x) 0，则f(x0)为f(x)的极小值； ②若f''(x) 0，则f(x0)为f(x)的极小值；

③若f''(x) 0，本方法无效，需用极限存在的充分条件之一这个定理来进一步判定。

因为f''(x) 0，则曲线在x0点的左右两侧呈凹状，因此f(x0)为极小值；反之，若f''(x) 0，则曲线在x0点的左右两侧呈凸状，因此f(x0)为极大值。

例5、求函数f(x) (x2 1)3 1的极值。

解：如图8，因为f'(x) 6x(x2 1)2，令f'(x) 0，得驻点x 1,0,1。所以，

f''(x) 6(x2 1)2 6x 2(x2 1) 2x 6(x2 1)(5x2 1)

又因为f''(0) 6 0，所以函数f(x)在x 0处取得极小值f(0) 0。 因为f''( 1) 0 f''(1)，则定理应用定理4失效。下面利用定理3。