导数是新教材的一个亮点,它是连接初等数学与高等数学的桥梁,用它可以解决许多数学问题,它是近年高考的的热点。它不仅帮助即将进入大学的高三学生奠定进一步学习的基础,而且在解决有关问题已经成为必用工具。由于导数的广泛应用,现已成为高考的热点知识本文拟对导数知识的全面归纳,然后通过一些实例全面介绍导数在实际数学中的应用,让人们全面了解导数这一工具的利用

将a lim

x

x

f(x)

f[x (a) x(b 即可确定求出并代入limx x

b limf[ x( a)x

x2

例10、求曲线y 的渐近线

x 1

x2

，所以x 1是曲线的垂直渐近线 解：（1）因lim

x 1x 1

（2）由a lim

x

f(x)x

lim 1 x xx 1

x2 x

x] lim 1 和b lim[f(x) ax] lim[

x x x 1x x 1

可知y x 1是曲线的斜渐近线

（2）函数图形的作法

导数未纳入高中教材时，做图形主要依靠描点作图，这样的图形比较粗糙。导数的出现

能更好的反应出导数的各种性态。

描绘图形的一般步骤如下：

①确定函数的定义域、值域及函数初等形态（对称性、周期性、奇偶性）等；

②求出f'(x)，f''(x)；

③列表讨论函数单调性、凹凸性及极值、拐点； ④确定曲线的渐近线；

⑤由曲线方程找出一些特殊点的坐标； ⑥用光滑曲线连接，画出y f(x)的图象。 例11、作函数y

4(x 1)

2的图形 2

x

解：函数的定义域为{x|x 0,x R}

y'

4(x 2)8(x 3)''

y ，

x3x4

令y' 0，得x 2；

令y'' 0，得x 3。列表如下：