导数是新教材的一个亮点,它是连接初等数学与高等数学的桥梁,用它可以解决许多数学问题,它是近年高考的的热点。它不仅帮助即将进入大学的高三学生奠定进一步学习的基础,而且在解决有关问题已经成为必用工具。由于导数的广泛应用,现已成为高考的热点知识本文拟对导数知识的全面归纳,然后通过一些实例全面介绍导数在实际数学中的应用,让人们全面了解导数这一工具的利用

1．1利用导数判断函数的单调性

一个函数在某个区间内的单调增减性的变化规律，是在研究函数图形时首先考虑的问题。在中学，已经知道函数在某个区间内单调增减性的定义。下面利用导数这一工具来判断函数增减性及其确定单调区间

从图形直观分析：若在(a,b)内，曲线上每一点的导数都大于0，即f'(x) 0，利用导数的几何意义知，在(a,b)内，曲线上每一点的切线斜率都为正，这时曲线是上升的，即函数y f(x)是单调递增的（如图2）。反之，

若在(a,b)内，曲线上每一点的导数都小于0（即曲线上每一点的切线斜率都为负），这时曲线是下降的，即函数y f(x)是单调递减的（如图3）对于上升或者下降的曲线，它的切线在个别点可能平行于x

轴（此点的导数值为0，即f'(x) 0）。因此，函数的增减性反映在导数上，有如下定理：

定理1：设函数f(x)在区间(a,b)内可导，则：

①若x (a,b)时恒有f'(x) 0，则f(x)在(a,b)单调增加； ②若x (a,b)时恒有f'(x) 0，则f(x)在(a,b)单调减少。 例1：求函数f(x) xcosx sinx(x 0)单调递增区间 解：因f'(x) cosx xsinx cosx xsinx，由f'(x) 0 得x (2k ,2k 2 )(k Z ) 所

以

，

f(

x)

xc oxs

s单x

x调

递增区间为

x (2k ,2k 2 )(k Z )