导数是新教材的一个亮点,它是连接初等数学与高等数学的桥梁,用它可以解决许多数学问题,它是近年高考的的热点。它不仅帮助即将进入大学的高三学生奠定进一步学习的基础,而且在解决有关问题已经成为必用工具。由于导数的广泛应用,现已成为高考的热点知识本文拟对导数知识的全面归纳,然后通过一些实例全面介绍导数在实际数学中的应用,让人们全面了解导数这一工具的利用

②当f''(x) 0时，则曲线为凹（此时在该区间为凸函数） 通过图形的直观性来说明该定理的正确性（如图5） 若曲线y f(x)呈现凸状，由图5（1）直观看出：当x增大时，切线斜率随之变小，说明一介导数函数f'(x)在(a,b)上为减函数，由函数单调性判别法，必有[f'(x)]' 0，即

f''(x) 0。说明：若曲线为凸性，必有f''(x) 0。同理，若曲线为凹，必有f''(x) 0。

从另一角度讲，该定理为二介导数的几何意义。

定义2：若函数f(x)在点x x0的左右邻域上凹凸性相反，则点(x0,f(x0))叫做曲线的拐点（注意拐点不是x0）

由拐点的定义可知，判断某点是否拐点，只需看该点左右两侧二介导数是否异号，与该点一介、二介导数是否存在无关

例3、求函数y 3x4 4x3 1的凹凸区间及拐点。

2

解：因y' 12x3 12x2，则y'' 36x2 24x 36x(x )

3

2

令y'' 0，得x 0,

x 。所以

1．3利用导数求函数的极值和最值

（1）利用导数求函数的极值

函数由增加变为减少或由减少变为增加，都经过一个转折点，即图中的“峰”点和“谷”点，这些点是在研究函数中是十分重要的。

定义2、设函数f(x)在点x x0及其某邻域左右两