河北工业大学硕士学位论文

（１）Ｖｇ∈Ｕ，都存在，∈Ｆ满足方程（１．１０）（解的存在性）；

（２）设９１，９２∈Ｕ，若＾和，２分别是方程（１．１０）对应于９１≠仍的解，则

＾≠，２（解的唯一性）；

（３）解相对于空间偶（Ｆ＇ｕ）而言是稳定的（解的稳定性），即ｔＶｅ＞０，ｊｄ（Ｅ）＞０，

只要

ｐｕ（ｇｌ，９２）≤ｄ（Ｅ）

匣有ｐ尸（ｇｌ，９２∈Ｕ），Ｌ＾厶＜Ｅ，ｌＡ＾＝ｇＡ尼＝如

反之，若上述三个条件中，至少有一个不能满足，则称其为不适定的．

由上述定义１．１，图像恢复问题是一类典型的不适定问题，它可以不满足一个或多个Ｈａｄａｍａｒｄ条件，原因在于成像系统本身的特性或观测数据的误差【９ｊ．

（１）解的存在性可以不成立

观测过程中噪声的存在将导致获得的图像与任一景象不相容（ｉｎｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ）．这表明成像系统本身可能就是不可靠的，自然也就不可能期望从由它获得的图像出发，恢复出真实景象来．

（２）解的唯一性可以不成立

当表现系统特征的算子Ａ是个多对一（ｍａｎｙ—ｔｏ－ｏｎｅ）映射时，对任意观测图像，存在着非平凡的解空间与它相容（ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ），这表明反问题的解可以是不唯一的．例如：对有限带宽成像系统，所有带宽外的图像数据作为成像算子的零空间是非空的．此外，即使日是非奇异的，对解空间约束信息的－－ｄ＇部分损失，也可以造成不唯一的解．如：ｇ＠，Ｙ）是一幅包含Ｎ×Ｎ个像素（ｐｉｘｅｌ）的图像，由于降质的原因，其提供的对解空间的约束最多为Ⅳ２个，如果说约束小于Ⅳ２，在没有其它附加信息的情况下，恢复，（ｚ，掣）（Ⅳ×Ｎ）显然是不唯一的．

（３）懈的稳定性可以不成立

通常问题（１．１）是一类第一类算子方程，第一类算子Ａ的固有特性决定解Ｉ（ｘ，Ｙ）对观测数据ｇ（ｘ，Ｙ）扰动的敏感性。原始数据很小的误差也会导致近似解与真解的严重偏离，真所谓＊差之毫厘，失之千里”。而实际情况恰恰是我们要处理的都是近似数据，不是精确数据，这必然决定解的稳定性不成立．

正因为如此，图像恢复这类反问题在Ｈａｄａｍａｒｄ意义下是不适定的，若不用特殊的方法来处理，将得不到合理的答案．

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