§２－２离散问题的正则化

在上一章中，已指出图像恢复问题是一类典型的不适定的反问题，所以其对应的离散问题（２．１０）也是个病态的问题．为得到（２．１０）稳定的数值解，本节引入正则化策略．其基本思想是：用一族与原问题相邻近的适定问题的解去逼近原问题的解．自然，如何构造恢复模型的邻近问题而获得正则算子、如何控制与原问题邻近程度而决定与原始资料的误差水平相匹配的正则参数以及如何快速实现图像恢复求解过程便成为研究正则化的中心问题，这也是本文重点考虑的问题．首先给出正则算子的定义：

定义２．２Ｉｓ］一个由度量空间Ｆ到度量空间ｕ，且依赖于参数ａ＞０的算子ｎ（ｇ，ｏ）称为方程（２．１０）在ｇ＝ｇＴ的邻域内的正则算子，假如它满足下述两个条件；

（１）存在６ｌ＞０和ｏｌ＞０使得ｎ（ｇ，ａ）对ａ∈（０，ｎ１）、０≤６≤ｄｌ及Ｕ中满足不等式舳（９，卵）≤６１的所有９均有定义；

（２）存在一个集合％。＝Ｄ∈Ｕ：ｐｕ（ｇ，ｇＴ）Ｓ６１）及在其上定义的泛函Ｏ／＝ｎ（９，６），使得对任意给定的Ｅ＞０，总可以找到６（Ｅ）≤Ｊｌ，只要

ｐｕ（９，ｇＴ）≤６≤６（Ｅ），§∈Ｕ

便有

ｐＦ（厶，厅）茎Ｅ

其中，

，０＝几，ｄ）＝佗（§，ａ（§，６））（２．１１）

显然，如果舶满足阳（卯，卵）Ｓ６，则根据上述定义，将正则算子冗及泛函ｏ＝ｎ（绑，６）所确定的厶＝厶（％，５）＝冗（９６，Ｑ（卯，６））作为原问题的近似解是合理的．而且，每个这样的正则算子冗（卯，ａ（６））连同决定正则参数的不同原则和方法，都定义了构造原问题的近似解的一个稳定算法．于是，寻求原问题的稳定近似解的过程可转化为：

（１）构造正则算子冗（９，口）

（２）确定正则参数ｎ＝ｏ（６），使之与原始数据的误差水平６相匹配

构造正则算于的方法多种多样，下面重点研究的是Ｔｉｋｈｏｎｏｖ提出的基于变分原理的正则化方法【２…，通过引入所谓的展平泛函（ｓｍｏｏｔｈｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ）来构造正则算子．设方程（２．１０）存在精确解舟（当古典解不存在时可用广义解．序＝日＋ｇ来代替），对于任何Ｑ＞０称下述具有参数ｄ的泛函

Ｍ。＝ｐ刍（日，，９）＋Ⅱｎ【，］，ｇ∈Ｕ，，∈ＦｌｃＦ（２１２）

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