——璧薹垄垩壅墅堕＝壁璺堡堡墓垂型些基鎏

令九（。，Ｄ；Ｙ，卢）＝Ｈ［６（ｘ—ＯＬ，Ｙ—ｐ）】，则有

出㈤＝胪㈦脚（蚋ｍｐ）如阳＋咄㈡（１．７）

其中，ｈ（ｘ，ｏ；Ｙ，ｐ）称为日的冲激响应，它表示系统对坐标为（Ｏｔ，卢）处的冲激函数的响应，能够完全刻画系统日．多数情况下它表现为时不变性，反映到图像中为空不变性，即

ｈ（ｘ，ｏ；Ｙ，ｐ）＝＾（ｚ—ｎ，Ｙ—ｐ）

在光学中，冲激为一个光点，（１．８）Ｓｐｒｅａｄｈ（ｚ，Ｑ；Ｙ，ｆ１）一般也被称为点源扩散函数（ＰｏｉｎｔＦｕｎｃｔｉｏｎ，记为ＰＳＦ）．将（１．８）式代入（１．７）式得

，磐

如Ｍ２／／ｍ厕＾（Ｘ－－ｏｚ，ｙ－－剐ｎ即栅（训）

＝ｆ（ｚ，Ｙ）十ｈ（ｘ，Ｙ）＋礼（ｚ，Ｙ）（１．９）

其中十表示卷积运算．

这样我们就得到要研究的图像降质线性空不变连续模型（１．９）．可以看出，图像上任一点的运算结果只取决于该点的输入值，而与坐标位置无关．而对于不同的点源扩散函数就形成不同的降质模型，后面数值试验部分针对的就是两个特殊ＰＳＦ形成的具有代表性的图像降质模型：均匀降质模型和Ｇａｕｓｓ降质模型．

如果称得到降质图像９（ｏ，Ｙ）的过程为成像过程的话，则所谓图像恢复就是成像过程的反向过程，即：要由得到的降质图像ｇ（ｘ，Ｙ）和降质系统的机理（降质算子）日，反求原图像．从数学上来说，就是在已知ｇ（ｘ，Ｙ）及核＾（。，ａ；Ｙ，卢）的情况下，求解二维Ｐｒｅｄｈｏｌｍ方程．这是一类典型的反问题，求解的本质困难是：它在数值上很不稳定，或者说，它在Ｈａｄａｍａｒｄ意义下是不适定的［４，ｓ１．

１－１—３图像恢复问翘的不适定性

２０世纪初，Ｈａｄａｍａｒｄ为描述数学物理问题与定解条件的合理搭配引入４适定”（ｗｅｌｌ．ｐｏｓｅｄｎｅｓｓ）的概念ｍ】．

设ＰＦ和Ｐ矿分别是空间Ｆ和Ｕ的度量，Ａ：Ｆ—Ｕ是线性或非线性映射，对于

Ａｆ＝ｇ，ｆ∈Ｅ

给出下述的９∈Ｕ（１．１０）

定义１，１称问题或方程（１．１０）为适定的，如果它同时满足下述三个条件４