材料力学简明教程(景荣春)课后答案第五章(12)

其中

σmax

MAqa2== Wz2Wz

Wz=402×10 6m3,σmax=140MPa

于是，得许可载荷集度

2Wzσmax2×402×10 6×140×106

q===25000N/m=25kN/m 22

a2.12

5-15 图示一矩形截面悬臂梁，在全梁上受集度为q的均布载荷作用，其横截面尺寸为

b,h,长度为l。

（1）试证明在离自由端为x处的横截面上切向内力元素τdA的合力等于该截面上的剪力，而法向内力元素σdA的合力偶矩等于该截面上的弯矩。

（2）如沿梁的中性层截出梁的下半部，如图所示，试问在截开面上的切应力τ′沿梁长

度的变化规律如何？该面上总的水平剪力有多大？由什么力来平衡？

解 （1）假定切应力τ沿横截面宽度均匀分布，所以整个横截面切应力τ的合力沿对称轴y。

矩形截面切应力沿高度分布为

*FSSzFb3FS22

τ==S (h2 4y2)=(h 4y) 3

bIzbIz82bh

整个横截面的切应力构成的合力为

∫τdA=2b∫

A

h

20

τdy

h20

根据静力平衡有

3FS

(h2 4y2)dy=FS 3A2bh

我们知道x横截面上的剪力等于qx。所以τdA的合力等于该截面上剪力。

My

。整个截面的σdA对中性轴的矩是 正应力沿横截面高度分布为σ=Iz

MM2

ydA= Iz=M ∫AσydA=∫A

IzIz

qx=

∫τdA=2b∫

根据静力平衡

12

qx=∫AσydA=M 2

于是证得法向内力元素σdA的合力偶之矩等于该截面的弯矩。

（2）对此悬臂梁任意x截面的剪力

FS(x)=qx。

矩形截面的中性层处的横向剪应力