材料力学简明教程(景荣春)课后答案第五章(12)
时间:2025-07-10
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其中
σmax
MAqa2== Wz2Wz
Wz=402×10 6m3,σmax=140MPa
于是,得许可载荷集度
2Wzσmax2×402×10 6×140×106
q===25000N/m=25kN/m 22
a2.12
5-15 图示一矩形截面悬臂梁,在全梁上受集度为q的均布载荷作用,其横截面尺寸为
b,h,长度为l。
(1)试证明在离自由端为x处的横截面上切向内力元素τdA的合力等于该截面上的剪力,而法向内力元素σdA的合力偶矩等于该截面上的弯矩。
(2)如沿梁的中性层截出梁的下半部,如图所示,试问在截开面上的切应力τ′沿梁长
度的变化规律如何?该面上总的水平剪力有多大?由什么力来平衡?
解 (1)假定切应力τ沿横截面宽度均匀分布,所以整个横截面切应力τ的合力沿对称轴y。
矩形截面切应力沿高度分布为
*FSSzFb3FS22
τ==S (h2 4y2)=(h 4y) 3
bIzbIz82bh
整个横截面的切应力构成的合力为
∫τdA=2b∫
A
h
20
τdy
h20
根据静力平衡有
3FS
(h2 4y2)dy=FS 3A2bh
我们知道x横截面上的剪力等于qx。所以τdA的合力等于该截面上剪力。
My
。整个截面的σdA对中性轴的矩是 正应力沿横截面高度分布为σ=Iz
MM2
ydA= Iz=M ∫AσydA=∫A
IzIz
qx=
∫τdA=2b∫
根据静力平衡
12
qx=∫AσydA=M 2
于是证得法向内力元素σdA的合力偶之矩等于该截面的弯矩。
(2)对此悬臂梁任意x截面的剪力
FS(x)=qx。
矩形截面的中性层处的横向剪应力
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