单频复正弦信号频率估计(15)

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下面分析Quinn 方法的频率估计方差。利用 1和 2估计频率的方差相同, 下面仅分析其中之一并略去下标。由于正弦信号的FFT 在主瓣内的两条谱线相位相差 ，S k 在主瓣内最大值和次大值处的复数值可分别表示为

S m A1ej Z1，S m2 A2ej Z2其中A1和A2分别为无噪声S1和S2的幅度,

且有A1 S m Nasin 2 及A2 S m2 Nasin

2 1 。

则根据Q u inn 估计公式, 有

A2ej Z2 R （2） j

Ae Z 11

将Z1和Z2分别表示为Z1 X1 jY1和Z2 X2 jY2，代入上式, 得

R

A2cos X2 j A2sin Y2

Acos X jAsin Y 1 111

A12 Z1 2AU11

2

A1A2 A2U1 AU12 X1X2 YY12

（3）

式中U1 X1cos Y1sin ，U2 X2cos Y2sin 。考虑到主瓣内FFT 系数的信噪比一般较高,Z1A1及Z2A2大于或接近1的概率很小,分析估计误差时忽略这

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种小概率情况而假设Z1A1 1及Z2A2 1。上式可近似为

UU1 1 2AA1A2

（4） 2A11 2U1

A1

根据前述条件, 可将上式展开成泰勒级数并略去高次项, 可近似表示为

A2 U1U2 2U1 1 1 A1 A1A2 A1

A2 U2U1 1 A1 A2A1

（5）

代入Quinn 的频率估计公式, 整理得

A 1 U2A2 U1A1

2 （6） 1 A1 A2 U2 U1A2A1

同理将上式展开级数并略去高次项, 整理得

A2AU A2U1

12 （7） 2

A1 A2 A1 A2

所以相对频率偏差估计的方差可表示为

22

AvarU Avar U1 122 var （8） 4

A1 A2

22cos Ysin 根据定义var U1 var U2 X222

X X Z2 N 2， 代入上式得

及FFT 的性质有