常微分方程第三版课后答案(5)

y211x2[ ]dx [ ]dy 0 22

xy(x y)(x y)

解：

习题2.3

1、验证下列方程是恰当方程， M2y(x y)2 2y2(x y)( 1)2xy

y(x y)4(x y)3

并求出方程的解。

1. (x2 y)dx (x 2y)dy 0 解： M

y

1， N x=1 .

则

M N

y x

所以此方程是恰当方程。 凑

微分

，

x2dx 2y

(yd xd) y0 dx

得 ：1

3

x3 xy y2 C

2． (y 3x2)dx (4y x)dy 0

解： M

N y

1， x 1 . 则

M y N

x

. 所以此方程为恰当方程。

凑

微

分

，

ydx xdy 3x2dx 4ydy 0

得 x3 xy 2y2 C 3

．

N x 2x(x y)2 2x2(x y)2xy

(x y)4 (x y)3

则

M N

x y

. 因此此方程是恰当方程。

uy21

x (x y)2 x

（1）

u1x2

y y

(x y)2

（2）

对（1）做x的积分，则

y2u(x y)2

dx 1

xdx (y) =

y2 x y

lnx (y) （3） 对（3）做y的积分，则

u ( 1)y2

(x y)2y d (y) y(x y)2

dy

y