常微分方程第三版课后答案(13)

y2xdx y3dy xydx x2dy 0

两

边

同

除

以

d(xy)dy(x y)(x2y2 1)

x y dxdx1 x3y

，

得

y2

xdx ydx x(ydx xdy)

y2

0

即

12d(x2 y2) xdx

dy

0 令x cos ，y sin ，则

d cos dctg 0

即

d

dsin

sin2

0 两

边

积

分

得

1sin c.将1 sin y

代入得，

y

c

即

2(y 1)2 c2y2

故

(x2 y2)(y2 1)2 c2y2 32. dydx 1 xy3

1 x3y

0

解

：

方

程

可

化

为 dydx 1 xy3

1 x3

y

两边同加上1，得 d(x y)dx xy(x2 y2)

1 x3y

（*）

再由d(xy) xdy ydx，可知

（**） 将（*）/（**

）

得

d(x y)d(xy) xy(x y)

x2y2

1

即

dudv uv

v2 1

整

理

得 duu vv2 1

dv 两

边

积

分

得 cu

即 c(x y)

另外， x y 0 也是方程的解。

33. 摩托艇以 5米/秒的速度在静水运动，全速时停止了发动机，过了20秒钟后，艇

的速度减至v1 3米/秒。确定发动机停止2分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动

速度成正比例。 解：F ma m

dv

dt

，又F k1v，由此

m

dv

dt

k1v 即

dv

dt

kv 其中 k k

1 m

，解之得

lnv kt c

又

t 0 时， v 5 ； t 2时，v 3。 故

得 k

120ln3

5

，c ln5

从而方程可化

为 n n 1

t

320

v 5()

5

dxdx

at an t x 1

dtndtn 1

f1 t

当

t 2 60 120

时，

（1）

有

3120

v(20) 5 ()20 0.23328米/秒

5

即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速

dnxdn 1x

a1 t n 1 an t x f2 t n

dtdt

（2）

习题4.1

1. 设x t 和y t 是区间a t b上的连

续函数，证明：如果在区间a t b上有

x t y t yt 常数或

xt常数，则x t 和y t 在区间a t b上线形无关。

证明：假设在x t ，y t 在区间a t b上线形相关

则存在不全为零的常数 ， ，使

得 x t y t 0

那么不妨设x t 不为零，则有

y t xt

显然

为常数，与题矛盾，即假设不成立x t ，y t 在区间a t b上线形无关

2. 证明非齐线形方程的叠加原理：设

x1 t ，x2 t 分别是非齐线形方程

的解，则x1 t +x2 t 是方程

dnxdtn

adn 1x

1 t dt

n 1 an t x f1 t +f2 t 的解。

证明：由题可知x1 t ，x2 t 分别是方程（1），（2）的解

则

：

dnx1 t dtn adn 1x1 t

1 t dt

n 1

an t x1 t f1 t （3）

dnx 12 t dtn a dnx2 t

1 tdt

n 1

an t x2 t f2 t （4）

那么由（3）+（4）得：

dn x1 t x2 t dtn adn 1 x1 t x2 t

1 t dt

n 1

an t x1 t x2 t f1 t +f2 t

即

x1 t +x2 t 是方程是

dnxdn 1dtn

ax

1 t dt

n 1 an t x f1 t +f2 t 的解。

3. 试验证d2x

dt

2

x 0的基本解组为