常微分方程第三版课后答案(20)

问题的解.

2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题： a) x‘’+2x‘+7tx=e－t

其中 x＝ 1 .

x

2

x

b) 令x1＝x x2＝x' x3＝x''

x4＝x''' 则得：

,x(1)=7,

x‘(1)=-2 b)

x

（4）

+x=te

t

,x(0)=1,

x‘(0)=-1,x‘’(0)=2,x‘‘’

(0)=0 x‘’

＋5y’－7x＋6y＝etc) y‘’－2y＋13y‘

－15x＝cost

x(0)=1, x‘

(0)=0,y(0)=0,y‘

(0)=1

解：a）令 x1＝x, x2= x‘, 得

x'1 x' x2

x' x'' 7tx t

21 2x2 e

即

'

x1 01 x1 x 7t 2 x 0

e t

2

2 又 x1＝x(1)=7 x2

(1)=

x‘(1)=-2

于是把原初值问题化成了与

之等价的一阶方程的初值问题： x‘＝ 01 －7－2

x＋ 0 e t ,

x(1)＝

7

2

x'1 x' x2

x'

2 x'' x3 x'x'''

x 3 4

x't xt4 x te 1 te

且

x1

(0)=x(0)=1,

x'2=x(0)=-1, x3(0)= x''(0)=2,

x''4(0)= x'(0)=0 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：

0100 x'

=

0010 0

0 0001 x＋ 0 －1000 tet

1

x1 x(0)= －1

x 2

, 其中 x= 2 x .

3 0 x 4

c) 令w1＝x， w2＝x'，w3＝y，w4＝y‘，则原初值问题可化为：

w'

1 x' w2 w'''t

2 x 5w4 7w1 6w3 e

w'3 y'

w4 w'4 y'' 2w3 13w4 15w1 cost