常微分方程第三版课后答案(3)

11.

dy

xy x3y3dxdy

xy x3y3

dx两边除以y3dy

xy 2 x33ydx

dy-2

2( xy 2 x3)dx令y 2 z

dz

2( xz x3)dx

P(x) 2x,Q(x) 2x3e dx e

p x

2xdx

13

2xydy (2y2 x)dxdy2y2 xy1 dx2xyx2y这是n=-1时的伯努利方程。 两边同除以

1

， y

ex

2

dyy21y dxx2

方程的通解为：

p x p x

z= e dx( e dxQ(x)dx c)

令y2 z

dzdy 2y dxdx

=ex( e x( 2x3)dx c) =x2 cex 1

故方程的通解为：y2(x2 cex 1) 1,且y 02

2

22

dz2y22z

1 1 dxxx

clnx1

12.(ylnx 2)ydx xdyx2

424

dylnx22y y dxxx

2

两边除以ydylnx2y

y2dxxx

1

1

P(x)=

2

Q(x)=-1 x

由一阶线性方程的求解公式

dx dx

z e x( e xdx c)

2

2

=x x2c

dylnx2y

dxxx 令y 1 zdz2lnx z dxxx

2lnxP(x) ,Q(x)

xx方程的通解为：z e

P(x)dx

P(x)dx( e Q(x)dx c)

1

y2 x x2c

dyey 3x

14 2dxx

2

dy(ey) 3xey

两边同乘以e e dxx2

y

y

令ey z

dzydy e dxdx

22

22dx dxlnx1lnx 2xxdzz 3xz3zzz e( e( )dx c) x( 2( )dx c 2 这是n=2时xxx2

dxxxx

c2lnx1 x 424

的伯努利方程。

c2lnx1

方程的通解为:y(x ) 1,424