常微分方程第三版课后答案(19)

x c1cost c2sint

1

2

tcost 1

3

cos2t 习题5.1

1.给定方程组 x

‘

= 01 x1 －10

x x= x 2

（*）

a)

试

验

证

u(t)= cost sint ,v(t)= sint

cost 分别是方

程组（*）的满足初始条件u(0)= 1

0

0 , v(0)= 1

的解.

b)试验证w(t)＝c1u(t)+c2v(t)是方程组（*）的满足初始条件

w(0)= c1

c 的解，其中c1,c2是任意

2

常数.

解：a) u(0)= cos0 1 sin0

=

0

u

'

(t)=

sint

cost

=

01 cost 01

10 sint 10

u(t) 又 v(0)= sino cos0 = 0

1

v

'

(t)= cost sint

= 01 sint 01

－10 cost = －10

v(t) 因此 u(t),v(t)分别是给定初值问题的解.

b) w(0)=c1u(0)+c2u(0)=

c 1

1 0 c1 0

+c2

1 = c 2

w'(t)= c1 u'(t)+ c2 v'(t)

=

c sint

+c 2 cost 1 cost

sint

= － c1sint c2cost c 1cost c

2sint =

01 －10 c1cost c2sint

c1sint c2cost

=

01

－10

w(t) 因此 w(t)是给定方程初值