常微分方程第三版课后答案(15)

于是：x t c1et ct2e

令t=0,则有方程适合初始条件

x 0 1,x 0 0，于是有：

0

c1e c2e 1 c0e01e c2 0

解得：

c11

2,c111

2 2 故x t 2et 2

e t 又该方程适合初始条件

x 0 0,x 0 1，于是：

c0

1e c2e 0 解

得

：

c001e c2e 1c12,c1111

2 2 故x t 2et 2

e t 显然x1 t ，x2 t 线形无关，所以此

方程适合初始条件的基本解组为：

x t 1et 1e t

22， x t 112et 2e t

而此方程同时满足初始条件

x 0 xx 0 x

0,0，于是：

c0 1e c0

2e x0解

得

：

c0

c0

1e 2e x0

cxx 0 0x0 x0

1 2,c2

2

故x t x

0 x0tx0 x2e 0 t

2

e

满足要求的解。

习题4.2

1. 解下列方程

（1）

x(4)

5x 4x 0 解：特征方程

4 5 2 4 0有根 1 2， 2 2， 3 1， 4 1

故

通

解

为

x=c2t

2t

t

e t

1e c2e c3e c4

(2)

x 3ax 3a2x a3x 0

解

：

特

征

方

程

3 3a 2 3a2 a3 0

有三重根

a

.故通解为

x=c1eat c2teat c23teat

（3）x

(5)

4x 0

解：特征方程 5 4 3 0,有三重根 0， 4 2， 5 -2

故

通

解

为

x c2t

c 2t

2

1e2e c3t c4t c5

（4）x 2x 10x 0 解：特征方程 2 2 10 0有