常微分方程第三版课后答案(14)

et

,e t，并求方程d2x

dt

2 x cost的通

解。

证明：由题将et

代入方程d2x

dt

2 x 0得：

et-et=0,即et是该方程的解，

同理求得e t

也是该方程的解 又显然et,e t线形无关，故et,e t

是d2x

dt

2

x 0的基本解组。 c 1 t et c 2

t e t 0 c 1

t et c 2 t e t cost由题可设所求通解为：

x t c1 t et c2 t e t，则有：

解

之

得

：

c 11 t4e t ct sot c1i;cs2

t n14et

ct sot c2i

故

所

求

通

解

为

：

x t ctt1e c2e

12

cto s

4. 试验证d2xtdxdt

2

1 tdt 1

1 tx 0有基本解组t，et

，并求方程

d2xtdx1

dt2 1 tdt 1 t

x t-1的通解。 解：由题将

t

代入方程

d2xtdx1

dt

2

1 tdt 1 tx 0得：

d2tdt2 tdt1 tdt 11 t

t tt

1 t 1 t 0

，即t为该方程的解

同理et

也是该方程的解，又显然t，

et线形无关，故t，et是方程

d2xdt2 tdx1 tdt 1

1 t

x 0的基本解组 由题可设所求通解为

x t c1 t t c2 t et，则有：

c 1 t t c 2 t et 0 c c t1 t 2 t e t 1解

之

得

：

c1 t t c1,c2 t te t e t

c2

故

所

求

通

解

为

x t cct2

1t 2e t 1

5. n以知方程d2xdt

2

x 0的基本解组为et,e t，求此方程适合初始条件x 0 1,x 0 0及x 0 0,x 0 1

的基本解组（称为标准基本解组，即有

w 0 1）并求出方程的适合初始条件

x 0 x

0,x 0 x0的解。

解：et

,e t

时间方程d2x

dt

2 x 0的基本解

组，故存在常数c1,c2使得：

x t c1et c2e t

s