经典例题,个人收集,分享与大家。

2 x

Dxz

x

22

1 x

dxdz 2

1

x x

2

1

x 2

dz ,

所以

xdS

0 0 .

例8 设有一颗地球同步轨道卫星, 距地面的高度为h 36000km，运行的角速度与地球自转的角速度相同. 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径R 6400km).

解 取地心为坐标原点，地心到通讯卫星重心的连线为z轴，建立如图坐标系.卫星覆盖的曲面 是上半球面倍半顶角为 的圆锥面所截得的部分. 的方程为

z

R x y,

2

2

2

它在xOy面上的投影区域

Dxy:x y Rsin .

2

2

2

2

于是通讯卫星的覆盖面积为

A 2 R(1 cos ). RR h

2

2

将cos 代入上式得 A 2 R 1

h 2

2 R .

R h R h

R

由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为

A4 R

2

42.5%.

由以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔2 角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面.

内容要点

二、第二类曲面积分的概念与性质

定义1 设 为光滑的有向曲面, 其上任一点(x,y,z)处的单位法向量

n cos i cos j cos k, 又设

A(x,y,z) P(x,y,z)i Q(x,y,z)j R(x,y,z)k

其中函数P,Q,R在 上有界, 则函数

Qcos Rcos v n Pcos则 上的第一类曲面积分

v ndS

(Pcos

Qcos Rcos )dS. (5.5)

称为函数A(x,y,z)在有向曲面 上的第二类曲面积分.

三、第二类曲面积分的计算法