经典例题,个人收集,分享与大家。

n

并作和 f( i, i, i) Si, 如果当各小块曲面的直径的最大值 0时, 这和式的极限存在,

i 1

则称此极限值为f(x,y,z)在 上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为

n

f(x,y,z)dS lim

0

i 1

f( i, i, i) Si

其中f(x,y,z)称为被积函数， 称为积分曲面. 二、对面积的曲面积分的计算法

f(x,y,z)dS

Dxy

f[x,y,z(x,y)] zx(x,y) zy(x,y)dxdy.

22

例4计算

xyz,

其中 为抛物面z x y(0 z 1).

22

解 根据抛物面z x2 y2对称性,及函数|xyz|关于xOz、yOz坐标面对称,有

xyzdS 4

1

20

1

2

xyzdS 4 xy(x y) (2x) (2y)dxdy

D xy

2222

2

4 dt rcostsint r

0 4rrdr 2 sin2tdt

20

2

1

r

5

4rdr

2

14

5

1

1255 1 u 1

u . du

4420

2

例5 计算

xdS, 其中

是圆柱面x2 y2 1,平面z x 2及z 0所围成的空间

立体的表面.

解

＝

1

2

3

，

1

，

2

在xOy面上得投影域Dxy:x y 1.

xdS

22

于是

1

xdxdy

Dxy

0,

2

2

xdS

x

Dxy

1dxdy 0,

将 3( 31, 32:y 1 x)投影到zOx面上，得投影域

Dxy: 1 x 1,0 y x 1.

3

xdS

31

xdS

32

xdS 2 x yx yzdxdz

Dzx

22