经典例题,个人收集,分享与大家。

u y

xy (y).

2

又u必须满足

u y

xy

2

x2y '(y) x

2y '(y) 0 (y) C,

所求函数为u x2y2/2 C.

例13（E07）设函数Q(x,y)在xoy平面上具有一阶连续偏导数, 曲线积分与路径无关, 并且对任意t, 总有

(t,1)

(1,t)

求Q(x,y).

(0,0)

2xydx Q(x,y)dy

(0,0)

2xydx Q(x,y)dy,

解 由曲线积分与路径无关的条件知

Q x

2x,

于是Q(x,y) x2 C(y),其中C(y)为待定函数.

(t,1)

2xydx Q(x,y)dy

(0,0)(1,t)

10t

(t C(y))dy t

22

t0

10

C(y)dy,

2xydx Q(x,y)dy

(0,0)

1

(1 C(y))dy t

t0

C(y)dy,

由题意可知t2

C(y)dy t

0

C(y)dy.

两边对t求导,得

2t 1 C(t)或C(t) 2t 1. 所以Q(x,y) x2 2y 1.

例14（E08）设曲线积分 xy2dx y (x)dy与路径无关, 其中 具有连续的导数, 且

L

(0) 0,计算

(1,1)

(0,0)

xydx y (x)dy.

2

解 P(x,y) xy2,Q(x,y) y (x),

P y

y

(xy) 2xy,

2

Q x

x

[y (x)] y '(x).

因积分与路径无关散 P y

Q x

,

由y '(x) 2xy (x) x2 C. 由 (0) 0,知C 0 (x) x2. 故

(1,1)(0,0)

xydx y (x)dy

2

y

1

0dx

0

1

ydy

12

.

例15 选取a,b使表达式

[(x y 1)e ae]dx [be (x y 1)e]dy

y

x

y