经典例题,个人收集,分享与大家。

rot(gradu)

22222

2u u u u u u , , . y z z y z x x z x y y x

因为u x2y 2xy2 3yz2有二阶连续导数,故二阶混合偏导数与求导次序无关,故

rot(gradu)

0.

注：一般地，如果u是一单值函数，我们称向量场A=gradu 为势量场或保守场，而u称

为场A的势函数.

例6（E04）设一刚体以等角速度 xi yj zk绕定轴L旋转，求刚体内任意一点M的线速度v的旋度.

解 取定轴l为z轴，点M的内径r OM xi yj zk, 则点M的线速度

i

v r x

j

yy

z ( yz zy)i ( zx xz)j ( xy yx)k, z

k

x

于是rotv

i x yz zy

j y zx xz

k z

xy yx

2( xi yj zk) 2 .

即速度场v的旋等于角速度 的 2 倍.

内容要点

点函数积分的概念 点函数积分的性质

点函数积分的分类及其关系

一、点函数积分的概念

定义1 设 为有界闭区域, 函数u f(P)(P )为 上的有界点函数. 将形体 任意分成n个子闭区域 1, 2, , n,其中 i表示第i个子闭区域, 也表示它的度量, 在 i上任取一点Pi, 作乘积

f(Pi) i

n

(i 1,2, ,n)

并作和

i 1

f(Pi) i

如果当各子闭区域 i的直径中的最大值 趋近于零时, 这和式的极限存在, 则称此极限为点函数f(P)在 上的积分, 记为 f(P)d , 即