第十一章 曲线积分与曲面积分经典例题(15)
发布时间:2021-06-09
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其中f(P)
*
f(P)d
称为函数f(P)在 上的平均值.
三、点函数积分的分类及其关系
1.若 [a,b] R,这时f(P) f(x),x [a,b],则
f(P)d
b
a
f(x)dx. (1)
这是一元函数f(x)在区间[a,b]上的定积分. 当f(x) 1时,
b
a
dx b a是区间长.
2.右 L R2,且L是一平面曲线, 这时f(P) f(x,y),(x,y) L,于是
f(P)d
L
f(x,y)ds (2)
当f(P) 1时,
ds
L
s是曲线的弧长. (2)式称为第一类平面曲线积分.
3.若 R3,且 是空间曲线, 这时f(P) f(x,y,z),(x,y,z) ,则
f(P)d
f(x,y,z)ds. (3)
当f(P) 1时,
ds
s是曲线的弧长. (3)式称为第一类空间曲线积分.
2、3的特殊情形是曲线为直线段, 而直线段上的点函数积分本质上是一元函数的定积分,这说明 f(x,y)ds, f(x,y,z)ds可用一次定积分计算, 因此用了一次积分号.
L
4.若 D R,且D是平面区域, 这时f(P) f(x,y),(x,y) D, 则
2
f(P)d
D
f(x,y)d (4)
(4)式称为二重积分. 当f(x,y) 1时,
3
d
D
是平面区域D的面积.
5.若 R,且 是空间曲面, 这时f(P) f(x,y,z),(x,y,z) , 则
f(P)d
f(x,y,z)dS (5)
(5)式称为第一类曲面积分. 当f(P) 1时,
dS
S是空间曲面 的面积.
由于(5)的特殊情形是平面区域上的二得积分, 说明该积分可化为两次定积分的计算, 因此用二重积分号.
6.若 R为空间立体, 这时f(P) f(x,y,z),(x,y,z) , 则
3
f(P)d
f(x,y,z)dv. (5)
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