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其中f(P)

*

f(P)d

称为函数f(P)在 上的平均值.

三、点函数积分的分类及其关系

1.若 [a,b] R,这时f(P) f(x),x [a,b],则

f(P)d

b

a

f(x)dx. (1)

这是一元函数f(x)在区间[a,b]上的定积分. 当f(x) 1时,

b

a

dx b a是区间长.

2.右 L R2,且L是一平面曲线, 这时f(P) f(x,y),(x,y) L,于是

f(P)d

L

f(x,y)ds (2)

当f(P) 1时,

ds

L

s是曲线的弧长. (2)式称为第一类平面曲线积分.

3.若 R3,且 是空间曲线, 这时f(P) f(x,y,z),(x,y,z) ,则

f(P)d

f(x,y,z)ds. (3)

当f(P) 1时,

ds

s是曲线的弧长. (3)式称为第一类空间曲线积分.

2、3的特殊情形是曲线为直线段, 而直线段上的点函数积分本质上是一元函数的定积分,这说明 f(x,y)ds, f(x,y,z)ds可用一次定积分计算, 因此用了一次积分号.

L

4.若 D R,且D是平面区域, 这时f(P) f(x,y),(x,y) D, 则

2

f(P)d

D

f(x,y)d (4)

(4)式称为二重积分. 当f(x,y) 1时,

3

d

D

是平面区域D的面积.

5.若 R,且 是空间曲面, 这时f(P) f(x,y,z),(x,y,z) , 则

f(P)d

f(x,y,z)dS (5)

(5)式称为第一类曲面积分. 当f(P) 1时,

dS

S是空间曲面 的面积.

由于(5)的特殊情形是平面区域上的二得积分, 说明该积分可化为两次定积分的计算, 因此用二重积分号.

6.若 R为空间立体, 这时f(P) f(x,y,z),(x,y,z) , 则

3

f(P)d

f(x,y,z)dv. (5)