经典例题,个人收集,分享与大家。

其中

u n

为函数u沿曲面 的外法线方向的方向导数，u,v在 上具有一阶和二阶连续偏导

22

数，符号

x

22

y

22

z

称为拉普拉斯算子. 这个公式称为格林第一公式.

证 因为

u n

u xcos

u ycos

u z

cos u n

，其中n {cos ,cos ,cos }是 在点(x,y,z)处

的外法线的方向余弦，于是

v

u n

v( u n)dS

[(v u n)dS

u u u

vcos vcos vcos dS y x z u u u v v y z v z x x y

dv

v udv

u v u v u v

x x y y z z dv.

将上式右端移至左端即得所要证明的等式.

例5（E05）求向量场r xi yj zk的流量

(1) 穿过圆锥x2 y2 z2(0 z h)的底(向上); (2) 穿过此圆锥的侧表面（向外）.

解 设S1,S2及S分别为此圆锥的面，侧面及全表面，则穿过全表面向外的流量

Q

(1)

S

r dS

V

divrdv 3

dv

V

h.

3

穿过底面向上的流量

Q1

S

r dS

2

zdxdy

2

2

2

hdxdy

2

2

h.

3

x y z

z h

x y z

(2)穿过侧表面向外的流量

Q2 Q Q1 0.

内容要点

一、斯托克斯公式

定理1 设 为分段光滑的空间有向闭曲线， 是以 为边界的分片光滑的有向曲面，

函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在包含曲面 在内的一个 的正向与 的侧符合右手规则，

空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式