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第十一章 曲线积分与曲面积分

内容要点

一、引例 设有一曲线形构件所占的位置是xOy面内的一段曲线L（图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为 (x,y)，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质

性质1 设 ， 为常数，则

L[ f(x,y) g(x,y)]ds f(x,y)ds

L

Lg(x,y)ds；

性质2设L由L1和L2两段光滑曲线组成(记为L L1 L2)，则

L L

1

f(x,y)ds

2

L

f(x,y)ds

1

L

f(x,y)ds.

2

注： 若曲线L可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L是光滑的或分段光滑的.

性质3 设在L有f(x,y) g(x,y)，则

L

f(x,y)ds

g(x,y)ds

L

性质4（中值定理）设函数f(x,y)在光滑曲线L上连续，则在L上必存在一点( , )，使

其中s是曲线L的长度.

三、第一类曲线积分的计算：

x x(t), y y(t),

( t )

L

f(x,y)ds f( , ) s

L

L L L

f(x,y)ds

f[x(t),y(t)]x (t) y (t)dt (1.10)

22

如果曲线L的方程为 y y(x),a x b，则

f(x,y)ds

af[x,y(x)] c

d

b

y (x)dx (1.11)

2

如果曲线L的方程为 x x(y),c y d，则

f(x,y)ds

f[x(y),y] x (y)dy (1.12)

2

如果曲线L的方程为 r r( ), ，则

f(x,y)ds

22

f(rcos ,rsin )r( ) r ( )d

222222

例5（E03）计算 |y|ds, 其中L为双纽线（图10-1-4）(x y) a(x y)的

L

弧.

解 双纽线的极坐标方程为 r acos2 .

2

22

用隐函数求导得 rr asin2 ,r

asin2

r

2

,