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为某一函数的全微分, 并求出这个函数.

解

P y

y

[(x y 1)e ae] e ae, P y

Q x

,即

y

y

yy

Q x

x

[be (x y 1)e] be

xyx

e,

y

若表达式全微分式,则

e ae be e.

x

y

x

y

得a 1,b 1.

u(x,y)

x0

x

[(x 0 1)e ( 1)e]dx

x0

y0y

[e (x y 1)e]dy C

xy

x0

[(x 1)e 1]dx

x

x

x

y0

[e (x y 1)e]dy C

y

y

y

y

[xe x]0 [ey xe ye]0 C (x y)(e e) C.

x

y

例16（E09）求方程(x3 3xy2)dx (y3 3x2y)dy 0的通解. 解

u(x,y)

P y

6xy

3

2

Q x

,原方程是全微分方程,

y

x

(x 3xy)dx

ydy

3

x

4

4

32

xy

22

y

4

4

,

原方程的通解为

x

4

4

32

xy

22

y

4

4

2

C.

例19求微分方程2x(1 解 将题设方程改写为

2xdx 2x

x ydx

2

x y)dx x

2

ydy 0的通解.

x ydy 0,即d(x)

22

x yd(x)

22

x ydy 0,

2

将方程左端重新组合,有

d(x)

2

x yd(x y) 0,

22

故题设方程的通解为 x2

23

(x y)

23/2

C.

内容要点

一、 第一类曲面积分的概念与性质

定义1 设曲面 是光滑的, 函数f(x,y,z)在 上有界, 把 任意分成n小块 Si( Si同时也表示第i小块曲面的面积),在 Si上任取一点( i, i, i),作乘积

f( i, i, i) Si

(i 1,2, ,n)