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其中L是D的取正向的边界曲线.

若在格林公式(3.1)中，令P y,

Q x, 得

2 dxdy

D

Lxdy

ydx12

，

ydx.

上式左端是闭区域D的面积A的两倍，因此有 A

Lxdy

二、平面曲线积分与路径无关的定义与条件

定理2 设开区域D是一个单连通域，函数P(x,y)及Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数，则下列命题等价：

（1） 曲线积分 Pdx Qdy在D内与路径无关；

L

（2）表达式Pdx Qdy为某二元函数u(x,y)的全微分； （3）

P y

Q x

在D内恒成立；

（4）对D内任一闭曲线L， Pdx Qdy 0.

L

由定理的证明过程可见，若函数P(x,y)，Q(x,y)满足定理的条件，则二元函数

u(x,y)

(x,y)P(x,y)dx Q(x,y)dy (3.3)

(x,y)

满足 du(x,y) P(x,y)dx Q(x,y)dy， 我们称u(x,y)为表达式P(x,y)dx Q(x,y)dy的原函数.

u(x,y)

x x

x

P(x,y0)dx P(x,y)dx

y

y

y

P(x,y)dy C

或 u(x,y)

2

x

y

P(x0,y)dy C

例4 计算 e ydxdy, 其中D是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭区域.

D

解 令P 0,Q xe y,则 应用格林公式,得

2

Q x

P y

e

y

2

.

D

e

y

2

dxdy

xe

y

2

dy

xe

OA

y

2

dy

1

xe

x

2

dx

12

(1 e

1

).

OA AB BO

例5（E03）计算xdy ydxx y

2

2

,其中L为一条无重点

(1)

L

, 分段光滑且不经过原点的连续

闭曲线, L的方向为逆时针方向.

解 记L所围成的闭区域为D,令P

Q x

yx y P y.

2

2

,Q

xx y

2

2

,

则当x y 0时，有

22

y x

2

222

(x y)

2

(1) 当(0,0) D时，由格林公式知